Exercício 8. Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
\begin{aligned} S \doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T \doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] \\\ U \doteq\{(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0\} & \text { e } V \doteq\{(x, y, z) ; 3 x-y-z=0\} \end{aligned}
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
(h) T \cap U

Passo 1

O enunciado dá
T = Span \{(0,1,-1),(1,2,1)\}
e
U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y=0,\;4x-z=0\}.
Queremos determinar uma base e a dimensão de T\cap U.

Passo 2

Resolvendo o sistema de definições de U: x+y=0 implica y=-x
e 4x-z=0 implica z=4x.
Logo
U=\{(x,-x,4x):x\in\mathbb{R}\} =\mathrm{Span}\{(1,-1,4)\},
portanto \dim(U)=1.

Passo 3

Para ver se U\subseteq T\), checamos se o vetor gerador de \(U\) está em \(T\). Procuramos \(a,b\in\mathbb{R}\) tais que \[a\,(0,1,-1)+b\,(1,2,1)=(1,-1,4).
Isso dá o sistema
\begin{cases} b=1,\\\ a+2b=-1,\\\\ -\,a+b=4. \end{cases}
De b=1\] segue \(a+2= -1\Rightarrow a=-3, e então -(-3)+1=4 bate. Logo (1,-1,4)\in T.

Passo 4

Como o gerador de U está em T, temos U\subseteq T. Portanto
T\cap U=U
é de dimensão 1 e tem base \{(1,-1,4)\}.

Resposta

Uma base de T\cap U é \{(1,-1,4)\} e \dim(T\cap U)=1.

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