Exercício 8. Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
\begin{aligned} S \doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T \doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] \\\ U \doteq\{(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0\} & \text { e } V \doteq\{(x, y, z) ; 3 x-y-z=0\} \end{aligned}
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
(h) T \cap U
Passo 1
O enunciado dá
T = Span\{(0,1,-1),(1,2,1)\}
e
U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y=0,\;4x-z=0\}.
Queremos determinar uma base e a dimensão de T\cap U.
Passo 2
Resolvendo o sistema de definições de U: x+y=0 implica y=-x
e 4x-z=0 implica z=4x.
Logo
Para ver se U\subseteq T\), checamos se o vetor gerador de \(U\) está em \(T\).
Procuramos \(a,b\in\mathbb{R}\) tais que
\[a\,(0,1,-1)+b\,(1,2,1)=(1,-1,4).