Exercício 1. Estude a convergência ou divergência das séries abaixo: Classifiqueas em absoluta ou condicionalmente convergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-2)^{n} \frac{n^{3}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-2)^{n}\,\frac{n^{3}}{n!}
e classificá-la em absolutamente ou condicionalmente convergente.
Como há um termo (-2)^{n}, faz sentido primeiro aplicar o teste da razão à série dos valores absolutos para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Consideremos a série dos módulos dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-2)^{n}\,\frac{n^{3}}{n!}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\,\frac{n^{3}}{n!}.
Aplicamos o teste da razão. Chamando \displaystyle a_{n}=2^{n}\frac{n^{3}}{n!}, calculamos
L =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty} \frac{2^{\,n+1}\,\frac{(n+1)^{3}}{(n+1)!}} {2^{n}\,\frac{n^{3}}{n!}} =\lim_{n\to\infty}2\;\frac{(n+1)^{3}}{(n+1)\,n^{3}} =2\;\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{n^{3}}.
Como \frac{(n+1)^{2}}{n^{3}}=\frac{n^{2}+2n+1}{n^{3}}\to0, segue que
L=2\cdot 0=0<1.

Passo 3

Pelo teste da razão, L<1 implica que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\frac{n^{3}}{n!}
converge. Logo a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples, e não há condição de alternância que pudesse torná-la apenas condicional.

Resposta

A série converge absolutamente.

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