Exercício 4. Considere o sistema:
l x+y+z=6 2 x+3 y+z=11 3 x+4 y+a z=b
Determine os valores de a e b para que o sistema tenha:
(i) Uma única solução
(ii) Infinitas soluções
(iii) Nenhuma solução

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema linear com parâmetros
e queremos determinar para quais valores de o sistema tem (i) única solução, (ii) infinitas soluções ou (iii) nenhuma solução. O conteúdo necessário envolve cálculo de determinante da matriz de coeficientes e aplicação do Teorema de Rouché–Capelli (rank da matriz de coeficientes versus rank da matriz aumentada).

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 1 3 & 4 & a
e calculamos seu determinante. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
det(A) =1cdot3&14&a -1cdot2&13&a +1cdot2&33&4 =(3a-4)-(2a-3)+(8-9)=a-2

Passo 3

Se det(A)neq0, ou seja a-2neq0 ( aneq2), então pelo Teorema de Cramer o sistema tem única solução, independentemente de b.

Passo 4

Se det(A)=0, isto é a=2, o sistema reduzido tem duas equações independentes e precisamos verificar consistência da terceira equação. Com a=2, as três linhas de A satisfazem
(linha 3) = 1cdot(linha 1) + 1cdot(linha 2),
logo, para que a terceira equação seja combinação das duas primeiras em termos de termos constantes, deve acontecer
b = 1cdot6 + 1cdot11 = 17
Se b=17, a terceira equação não acrescenta restrição nova e o sistema é compatível com infinitas soluções. Se bneq17, a terceira equação entra em conflito e o sistema fica incompatível (nenhuma solução).

Passo 5

Concluindo:
  • Para aneq2: det(A)neq0 Rightarrow uma única solução.
  • Para a=2 e b=17: det(A)=0 e consistência Rightarrow infinitas soluções.
  • Para a=2 e bneq17: det(A)=0 e inconsistência Rightarrow nenhuma solução.

Resposta

(i) Uma única solução se aneq2 (qualquer b).
(ii) Infinitas soluções se a=2 e b=17.
(iii) Nenhuma solução se a=2 e bneq17.

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