Questão 5. Seja ll1 & 2 3 & 6. Ache uma matriz A B=0, com todos os elementos distintos, tal que A B=0. (observe que A=0 não implica B=0 ou ).

Passo 1

Temos a matriz AinR^2times2 dada por
A=1 & 2 3 & 6
e queremos encontrar uma matriz BinR^2times3 tal que AB=0. O conteúdo aqui envolve multiplicação de matrizes e teoria de núcleo (nullspace) de uma transformação linear, pois cada coluna de AB deve ser o vetor zero.

Passo 2

Vamos escrever B em termos de suas colunas
B=l[b1;b2;b3r],
onde cada bj=(xj,yj)^topinR^2. O produto AB tem colunas
AB=l[A,b1;A,b2;A,b3r]
e queremos A,bj=0 para j=1,2,3.

Passo 3

Escrevendo A,bj=0 para um vetor genérico b=(x,y)^top, temos
A,b=1 & 2 3 & 6x y=x+2y 3x+6y=0 0
Isso gera as equações x+2y=0 e 3x+6y=0, mas a segunda é múltiplo da primeira. Logo o núcleo de A é dado por
(x,y):x+2y=0=(-2t,t):tinR

Passo 4

Portanto cada coluna bj de B deve ter a forma
bj=tj-2 1
para algum tjinR. Assim a solução geral é
B=-2t1 & -2t2 & -2t3[6pt] t1 & t2 & t3

Passo 5

Para garantir que todos os bij sejam distintos, basta escolher t1,t2,t3 valores diferentes e que não gerem repetições. Por exemplo, tomando t1=1, t2=2, t3=3, obtemos
B=-2 & -4 & -6 1 & 2 & 3,
cujos 6 elementos são -2,-4,-6,1,2,3, todos distintos.

Resposta

B=-2 & -4 & -6 1 & 2 & 3

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