Questão 5. Seja
. Ache uma matriz
, com todos os elementos distintos, tal que
. (observe que
não implica
ou
).
Passo 1
Temos a matriz
dada por
e queremos encontrar uma matriz
tal que
. O conteúdo aqui envolve multiplicação de matrizes e teoria de núcleo (nullspace) de uma transformação linear, pois cada coluna de
deve ser o vetor zero.
Passo 2
Vamos escrever
em termos de suas colunas
onde cada
. O produto
tem colunas
e queremos
para
.
Passo 3
Escrevendo
para um vetor genérico
, temos
Isso gera as equações
e
, mas a segunda é múltiplo da primeira. Logo o núcleo de
é dado por
Passo 4
Portanto cada coluna
de
deve ter a forma
para algum
. Assim a solução geral é
Passo 5
Para garantir que todos os
sejam distintos, basta escolher
valores diferentes e que não gerem repetições. Por exemplo, tomando
,
,
, obtemos
cujos 6 elementos são
, todos distintos.