Exercício 2 Seja T: V V uma transformação linear tal que T^2=0 (isto é, T circ T é a transformação linear identicamente nula). Mostre que T não é injetora.

Passo 1

Nesse exercício, temos uma transformação linear T:Vto V tal que T^2=0. Precisamos mostrar que T não é injetora. Vamos usar conceitos de núcleo (Ker) e imagem (Im) de transformações lineares e a relação entre injetividade e núcleo.

Passo 2

Lembrando que T é injetora se, e somente se, Ker,T = 0. Além disso, T^2 = 0 significa que, para todo vin V, vale
T(T(v)) = 0

Passo 3

Da igualdade T(T(v))=0 concluímos que, para qualquer vin V, T(v)in Ker,T. Em outras palavras,
Im,T subseteq Ker,T

Passo 4

Agora, tome um vetor vneq 0 em V (supondo Vneq0). Se T(v)=0, então vinKer,T e já temos um vetor não nulo no núcleo. Se T(v)neq 0, então T(v) é um vetor não nulo de Ker,T. Em qualquer caso, Ker,Tneq0, o que mostra que T não é injetora.

Resposta

Como Ker,Tneq0, concluímos que T não é injetora.

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