Exercício 2 Seja
uma transformação linear tal que
(isto é,
é a transformação linear identicamente nula). Mostre que
não é injetora.
Passo 1
Nesse exercício, temos uma transformação linear
tal que
. Precisamos mostrar que
não é injetora. Vamos usar conceitos de núcleo (Ker) e imagem (Im) de transformações lineares e a relação entre injetividade e núcleo.
Passo 2
Lembrando que
é injetora se, e somente se,
. Além disso,
significa que, para todo
, vale
Passo 3
Da igualdade
concluímos que, para qualquer
,
. Em outras palavras,
Passo 4
Agora, tome um vetor
em
(supondo
). Se
, então
e já temos um vetor não nulo no núcleo. Se
, então
é um vetor não nulo de
. Em qualquer caso,
, o que mostra que
não é injetora.
Resposta
Como
, concluímos que
não é injetora.