Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear dada por . Vamos ver núcleo, imagem, a matriz em bases canônicas e discutir se existe inversa.
Passo 2
Para achar o núcleo, procuramos todos tais que . Escrevendo
vemos que isso força e . Logo
$$
\ker(F)={(0,0)}\n$$
ou seja, só o vetor nulo, mostrando que é injetora.
Passo 3
Para a imagem, notamos que as colunas da matriz de são os vetores geradores:
Assim
que é um subespaço de dimensão 2 em .
Passo 4
Em bases canônicas, a matriz de é a matriz cujas colunas são e :
Passo 5
Como a matriz não é quadrada (e mesmo sendo de posto 2 em dimensão de chegada 3) ela não é sobrejetora, logo não existe inversa F^-1:R^3toR^2. No entanto, restrita à imagem, há uma inversa à esquerda que envia (u,v,w)mapsto(u,v).
Resposta
ker(F)=(0,0), Im(F)=span(1,0,1),(0,1,0), A=1 & 00 & 11 & 0, sem inversa sobre todo R^3.