Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear F: R^2 to R^3 dada por (x,y)mapsto(x,y,x). Vamos ver núcleo, imagem, a matriz em bases canônicas e discutir se existe inversa.

Passo 2

Para achar o núcleo, procuramos todos (x,y) tais que F(x,y)=(0,0,0). Escrevendo
F(x,y)=(x,y,x)=(0,0,0),
vemos que isso força x=0 e y=0. Logo
$$
\ker(F)={(0,0)}\n$$
ou seja, só o vetor nulo, mostrando que ker(F)=(0,0)n é injetora.

Passo 3

Para a imagem, notamos que as colunas da matriz de F são os vetores geradores:
F(1,0)=(1,0,1), F(0,1)=(0,1,0)
Assim
Im(F)=span(1,0,1),(0,1,0),
que é um subespaço de dimensão 2 em R^3.

Passo 4

Em bases canônicas, a matriz de F é a matriz 3times2 cujas colunas são F(1,0) e F(0,1):
A=1 & 00 & 11 & 0

Passo 5

Como a matriz não é quadrada (e mesmo sendo de posto 2 em dimensão de chegada 3) ela não é sobrejetora, logo não existe inversa F^-1:R^3toR^2. No entanto, restrita à imagem, há uma inversa à esquerda que envia (u,v,w)mapsto(u,v).

Resposta

ker(F)=(0,0), Im(F)=span(1,0,1),(0,1,0), A=1 & 00 & 11 & 0, sem inversa sobre todo R^3.

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