\lim _{x \rightarrow 0}(3+2 x)^{\frac{3}{x}}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}(3+2x)^{\frac{3}{x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é (3+2x)^{\frac{3}{x}}.
  • Quando x\to 0 a base (3+2x) tende para 3.
  • Quando x\to 0 o expoente \dfrac{3}{x} tende para +\infty se x\to 0^+ e para -\infty se x\to 0^-.
    O que é pedido: o valor do limite quando x tende a 0 (limite bilateral).

Passo 2

Estratégia didática (curta): como a expressão tem a forma de uma base positiva próxima de 3>1 elevada a um expoente que diverge, o comportamento à direita e à esquerda de 0 pode ser diferente. Para analisar isso de maneira clara vamos estudar os limites laterais usando a transformação logarítmica:
se L for o limite (quando existir) de f(x)=(3+2x)^{3/x}, então \ln L=\lim_{x\to0}\dfrac{3}{x}\ln(3+2x) — isto é útil porque transforma potência em produto, que é mais fácil de avaliar quando há divergência do expoente. Vou calcular os limites laterais de \dfrac{3}{x}\ln(3+2x) e então voltar à função exponencial.

Passo 3

Análise do limite pela direita x\to 0^+.
Para x>0 pequeno temos \ln(3+2x)>\ln 3>0. Assim
\frac{3}{x}\ln(3+2x)\ge \frac{3}{x}\ln 3.
Como x\to0^+ temos \dfrac{3}{x}\ln 3 \to +\infty. Portanto
\lim_{x\to0^+}\frac{3}{x}\ln(3+2x)=+\infty.
Aplicando a função exponencial (que é contínua e estritamente crescente) obtemos
\lim_{x\to0^+}(3+2x)^{\frac{3}{x}}=\exp\!\Big(\lim_{x\to0^+}\frac{3}{x}\ln(3+2x)\Big)=\exp(+\infty)=+\infty.

Passo 4

Análise do limite pela esquerda x\to 0^-.
Para x<0 próximo de 0 ainda vale \ln(3+2x)\to\ln 3>0 (a base permanece positiva e maior que 1 quando x é suficientemente perto de 0). Como x é negativo, \dfrac{3}{x} é negativo e grande em módulo quando x\to0^-. Assim o produto
\frac{3}{x}\ln(3+2x)\to -\infty\quad\text{quando }x\to0^-.
Aplicando exponencial,
\lim_{x\to0^-}(3+2x)^{\frac{3}{x}}=\exp\!\Big(\lim_{x\to0^-}\frac{3}{x}\ln(3+2x)\Big)=\exp(-\infty)=0.

Passo 5

Conclusão: os limites laterais são diferentes:
\lim_{x\to0^+}(3+2x)^{\frac{3}{x}}=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^-}(3+2x)^{\frac{3}{x}}=0.
Como os limites laterais não coincidem, o limite bilateral \lim_{x\to0}(3+2x)^{\frac{3}{x}} não existe.

Resposta

Não existe; \displaystyle\lim_{x\to0^+}(3+2x)^{\frac{3}{x}}=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to0^-}(3+2x)^{\frac{3}{x}}=0.

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