Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - Quando
a base tende para . - Quando
o expoente tende para se e para se .
O que é pedido: o valor do limite quandotende a (limite bilateral).
Passo 2
Estratégia didática (curta): como a expressão tem a forma de uma base positiva próxima de
elevada a um expoente que diverge, o comportamento à direita e à esquerda de
pode ser diferente. Para analisar isso de maneira clara vamos estudar os limites laterais usando a transformação logarítmica:
se for o limite (quando existir) de
, então
— isto é útil porque transforma potência em produto, que é mais fácil de avaliar quando há divergência do expoente. Vou calcular os limites laterais de
e então voltar à função exponencial.
se
Passo 3
Análise do limite pela direita
.
Para
pequeno temos
. Assim
Como
temos
. Portanto
Aplicando a função exponencial (que é contínua e estritamente crescente) obtemos
Passo 4
Análise do limite pela esquerda
.
Para
próximo de
ainda vale
(a base permanece positiva e maior que
quando
é suficientemente perto de
). Como
é negativo,
é negativo e grande em módulo quando
. Assim o produto
Aplicando exponencial,
Passo 5
Conclusão: os limites laterais são diferentes:
Como os limites laterais não coincidem, o limite bilateral
não existe.
Resposta
Não existe;
e
.