Exercício 1. Os enunciados ou as fórmulas seguintes são verdadeiros ou falsos?
Uma sequência geométrica converge se sua razão satisfaz |\mathrm{r}| \leq 1.

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdadeiro que “uma sequência geométrica converge se sua razão satisfaz |r|\le1”. O conteúdo é sobre convergência de sequências geométricas, onde precisamos usar a expressão do termo geral e o comportamento quando |r|<1, |r|=1 e |r|>1.

Passo 2

Uma sequência geométrica de primeiro termo a_1 e razão r tem termo geral
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.

Passo 3

Se |r|<1, então r^{\,n-1}\to0 quando n\to\infty, logo
\lim_{n\to\infty}a_n = a_1\;\lim_{n\to\infty}r^{\,n-1}=0,
portanto converge.

Passo 4

Se |r|>1, então \lvert r^{\,n-1}\rvert\to\infty, logo \lvert a_n\rvert\to\infty e não converge.
Se r=1, então a_n=a_1 para todo n, logo converge trivialmente para a_1.
Se r=-1, então a_n=a_1(-1)^{n-1} oscila entre a_1 e -a_1 e, salvo o caso a_1=0, não tem limite.

Passo 5

O enunciado inclui |r|=1 sem excluir r=-1, mas para r=-1 a sequência não converge (exceto a_1=0), logo a condição completa deveria ser \lvert r\rvert<1 (com caso adicional trivial r=1). Então a afirmação dada é falsa.

Resposta

Falso.

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