Exercício 0.4 Resolva as seguintes equações exponenciais:
x^{x^{2}-2}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
x^{x^{2}-2}=1.
Informações dadas: a incógnita é x real (presumimos solução em \mathbb{R}); a expressão envolve uma base x elevada ao expoente x^{2}-2. O objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos revisar propriedades básicas que usamos para resolver a^{b}=1 com a,b reais (explicando direitinho para não ter dúvida):
  • Se a=1 então 1^{b}=1 para qualquer b real. Exemplo: 1^{5}=1.
  • Se b=0 e a\neq 0, então a^{0}=1. Exemplo: 5^{0}=1, (-3)^{0}=1.
  • Se a=-1 e b é um inteiro par, então (-1)^{b}=1. Exemplo: (-1)^{4}=1.
  • Atenção com 0^{0}: é indeterminado (não aceitamos 0^{0}=1 aqui). E atenção com base negativa e expoente não inteiro: não estamos definindo isso no conjunto dos reais.
    Essas são as únicas possibilidades reais para obter a^{b}=1.

Passo 3

Aplicamos a primeira possibilidade: expoente igual a zero.
Temos que resolver
x^{2}-2=0.
Isto é uma equação quadrática simples; somo 2 aos dois lados e extraímos raiz:
x^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Verificação da validade: para x=\pm\sqrt{2} a base não é zero ( \pm\sqrt{2}\neq 0), então a expressão x^{0} é bem definida e vale 1. Logo x=\sqrt{2} e x=-\sqrt{2} são soluções.

Passo 4

Aplicamos a segunda possibilidade: base igual a 1.
Resolvemos
x=1.
Verificação: para x=1 temos 1^{1^{2}-2}=1^{1-2}=1^{-1}=1. (Na verdade 1^{t}=1 para qualquer t real.) Logo x=1 é solução.

Passo 5

Aplicamos a terceira possibilidade: base igual a -1 e expoente inteiro par.
Primeiro tente x=-1. Calculamos o expoente:
x^{2}-2 = (-1)^{2}-2 = 1-2=-1.
O expoente é -1, que é inteiro mas ímpar. Então
(-1)^{-1} = -1 \neq 1.
Portanto x=-1 não é solução. Não existem outros x com valor -1 da base além de x=-1, então essa possibilidade não traz soluções.

Passo 6

Verificação de que não faltou nenhum caso: para x real com |x|\neq 1 (ou seja, x\neq\pm1), a única maneira de x^{x^{2}-2}=1 acontecer é ter o expoente igual a zero (caso já tratado). Se |x|=1 os únicos candidatos são x=1 (já solução) e x=-1 (já visto que não funciona). Também descartamos x=0 porque 0^{\text{algo}}>0}=0 se o expoente positivo, e 0^{0} é indefinido; portanto x=0 não resolve a equação. Assim não restam outras possibilidades.

Passo 7

Conferência final: as soluções encontradas foram
x=1,\quad x=\sqrt{2},\quad x=-\sqrt{2}.
Substituindo cada uma na equação original confirma-se 1 no lado direito, e todas são válidas.

Resposta

x=1
x=\sqrt{2}
x=-\sqrt{2}

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