Exercício 0.4 Resolva as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação exponencial
Informações dadas: a incógnita é
real (presumimos solução em
); a expressão envolve uma base
elevada ao expoente
. O objetivo é encontrar todos os valores de
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Vamos revisar propriedades básicas que usamos para resolver
com
reais (explicando direitinho para não ter dúvida):
- Se
então para qualquer real. Exemplo: . - Se
e , então . Exemplo: , . - Se
e é um inteiro par, então . Exemplo: . - Atenção com
: é indeterminado (não aceitamos aqui). E atenção com base negativa e expoente não inteiro: não estamos definindo isso no conjunto dos reais.
Essas são as únicas possibilidades reais para obter.
Passo 3
Aplicamos a primeira possibilidade: expoente igual a zero.
Temos que resolver
Temos que resolver
Isto é uma equação quadrática simples; somo
aos dois lados e extraímos raiz:
Verificação da validade: para
a base não é zero (
), então a expressão
é bem definida e vale
. Logo
e
são soluções.
Passo 4
Aplicamos a segunda possibilidade: base igual a
.
Resolvemos
Resolvemos
Verificação: para
temos
. (Na verdade
para qualquer
real.) Logo
é solução.
Passo 5
Aplicamos a terceira possibilidade: base igual a
e expoente inteiro par.
Primeiro tente . Calculamos o expoente:
Primeiro tente
O expoente é
, que é inteiro mas ímpar. Então
Portanto
não é solução. Não existem outros
com valor
da base além de
, então essa possibilidade não traz soluções.
Passo 6
Verificação de que não faltou nenhum caso: para
real com
(ou seja,
), a única maneira de
acontecer é ter o expoente igual a zero (caso já tratado). Se
os únicos candidatos são
(já solução) e
(já visto que não funciona). Também descartamos
porque
se o expoente positivo, e
é indefinido; portanto
não resolve a equação. Assim não restam outras possibilidades.
Passo 7
Conferência final: as soluções encontradas foram
Substituindo cada uma na equação original confirma-se
no lado direito, e todas são válidas.