Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
y=2^{|x|}

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico cartesiano da função \;y=2^{|x|}\;.\n
Informações dadas:\n
  • A expressão da função é \;y=2^{|x|}.\n
  • Não há outras restrições no enunciado (logo podemos assumir domínio natural: todos os reais).\n
    Objetivo imediato: desenhar (ou descrever passo a passo) o gráfico dessa função e identificar seus principais pontos/características.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é |x|\).\n Definição do valor absoluto:\n \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se }x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se }x<0. \end{cases}
Isto significa que |x|\] sempre é não negativo e trata números negativos trocando o sinal. Guarde: para \(x\ge 0 usamos |x|=x e para x<0 usamos |x|=-x.]

Passo 3

Usando a definição de |x|, separamos a função em dois ramos (casos):\n
  • Para x\ge 0: \;y=2^{|x|}=2^{x}.\n
  • Para x<0: \;y=2^{|x|}=2^{-x}.\n
    Observe que, por propriedades de potências, podemos reescrever 2^{-x} como (1/2)^{x} (pois 2^{-x}=(2^{-1})^{x}=(1/2)^{x}). Essas reescritas ajudam a comparar os dois ramos com funções exponenciais conhecidas.

Passo 4

Agora vamos analisar o ramo da direita ( x\ge 0): \;y=2^{x}.\n
Propriedades úteis de \;y=2^{x}:\n
  • Domínio: todos os reais; aqui estamos apenas no intervalo [0,\infty).\n
  • É uma função exponencial com base >1, portanto é crescente: quanto maior x, maior y.\n
  • Passa por (0,1) porque 2^{0}=1.\n
  • Alguns pontos fáceis para plotar:\n
\begin{aligned} x&=0 &\Rightarrow&\; y=2^{0}=1,\\\ x&=1 &\Rightarrow&\; y=2^{1}=2,\\\ x&=2 &\Rightarrow&\; y=2^{2}=4,\\\ x&=\tfrac{1}{2} &\Rightarrow&\; y=2^{1/2}=\sqrt{2}\approx 1{,}414. \end{aligned}
Com esses pontos você traça a curva exponencial crescente no semieixo x\ge 0. À medida que x\to\infty, y\to\infty. À medida que x\to 0^+, y\to1.

Passo 5

Agora o ramo da esquerda ( x<0): \;y=2^{-x}.\n
Note que, para valores negativos de x, -x é positivo, então 2^{-x} comporta-se como uma exponencial crescente em -x. Mas é mais simples ver a simetria:\n
Calcule alguns pontos no lado esquerdo para ver o padrão:\n
\begin{aligned} x&=-1 &\Rightarrow&\; y=2^{|-1|}=2^{1}=2,\\\ x&=-2 &\Rightarrow&\; y=2^{|-2|}=2^{2}=4,\\\ x&=-\tfrac{1}{2} &\Rightarrow&\; y=2^{|-\tfrac{1}{2}|}=2^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{2}. \end{aligned}
Compare com os pontos do lado direito: os valores são iguais para x e -x. Isso mostra que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (a função é par), ou seja, o ramo à esquerda é o espelho do ramo à direita.

Passo 6

Características globais importantes (úteis para a prova):\n
  • Domínio: \mathbb{R} (todos os reais).\n
  • Imagem (intervalo de valores possíveis): [1,\infty). Explicação: o menor valor ocorre em x=0 com y=2^{0}=1; para qualquer outro x temos |x|>0 e então 2^{|x|}>1.\n
  • Simetria: a função é par porque 2^{| -x|}=2^{|x|}, então o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.\n
  • Monotonicidade: é decrescente em (-\infty,0] (à medida que x aumenta até 0, |x| diminui e y diminui) e crescente em [0,\infty).\n
  • Ponto mínimo: (0,1) (mínimo global).\n
  • Comportamento nas infinitudes: \displaystyle\lim_{x\to\infty}2^{|x|}=\infty e \displaystyle\lim_{x\to -\infty}2^{|x|}=\infty. Ou seja, as duas “pontas” do gráfico sobem para infinito; não existe assíntota horizontal para ambas as extremidades (o comportamento y\to 0 que aparece em 2^{x} quando x\to -\infty não ocorre aqui porque o valor absoluto vira o expoente positivo).

Passo 7

Instrução prática para desenhar (passo a passo no papel):\n
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque o ponto (0,1).\n
  2. No semieixo x\ge 0, plote os pontos (0,1), (1,2), (2,4), (\tfrac{1}{2},\sqrt{2}) e desenhe uma curva suave crescente passando por eles (essa é a curva de y=2^{x} restrita a x\ge0).\n
  3. Refleta essa curva em relação ao eixo y (ou seja, para cada ponto (a,b) plotado com a>0, coloque (-a,b)). Isso produz o ramo para x<0.\n
  4. Verifique: o gráfico é uma “curva em V suave” que toca seu ponto mais baixo em (0,1) e cresce para \infty dos dois lados.\n
    Dica visual: não é uma linha reta em V; é duas curvas exponenciais que se encontram suavemente em (0,1).

Passo 8

Exemplos rápidos (para memorizar e usar na prova):\n
  • x=3\Rightarrow y=2^{3}=8 e x=-3\Rightarrow y=2^{|-3|}=8.\n
  • x=0{,}25\Rightarrow y=2^{0{,}25} e x=-0{,}25\Rightarrow y=2^{0{,}25} (mesmo valor dos dois lados).\n
    Esses exemplos reforçam que o gráfico tem os mesmos pontos à esquerda e à direita do eixo y.

Resposta

Gráfico: função par \;y=2^{|x|} com domínio \mathbb{R} e imagem [1,\infty); mínimo global em (0,1); para x\ge 0 a curva é y=2^{x} (crescente) e para x<0 é o espelho em y de y=2^{x} (ou seja y=2^{-x}); passa por (\pm1,2), (\pm2,4), (0,\;1) e cresce para +\infty em ambas as extremidades.

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