Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico cartesiano da função
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- A expressão da função é
.\n - Não há outras restrições no enunciado (logo podemos assumir domínio natural: todos os reais).\n
Objetivo imediato: desenhar (ou descrever passo a passo) o gráfico dessa função e identificar seus principais pontos/características.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
Isto significa que
usamos
e para
usamos
.]
Passo 3
Usando a definição de
, separamos a função em dois ramos (casos):\n
- Para
: \n - Para
: \n
Observe que, por propriedades de potências, podemos reescrevercomo (pois ). Essas reescritas ajudam a comparar os dois ramos com funções exponenciais conhecidas.
Passo 4
Agora vamos analisar o ramo da direita (
):
.\n
Propriedades úteis de :\n
Propriedades úteis de
- Domínio: todos os reais; aqui estamos apenas no intervalo
.\n - É uma função exponencial com base
, portanto é crescente: quanto maior , maior .\n - Passa por
porque .\n - Alguns pontos fáceis para plotar:\n
Com esses pontos você traça a curva exponencial crescente no semieixo
. À medida que
,
. À medida que
,
.
Passo 5
Agora o ramo da esquerda (
):
\n
Note que, para valores negativos de ,
é positivo, então
comporta-se como uma exponencial crescente em
. Mas é mais simples ver a simetria:\n
Calcule alguns pontos no lado esquerdo para ver o padrão:\n
Note que, para valores negativos de
Calcule alguns pontos no lado esquerdo para ver o padrão:\n
Compare com os pontos do lado direito: os valores são iguais para
e
. Isso mostra que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
(a função é par), ou seja, o ramo à esquerda é o espelho do ramo à direita.
Passo 6
Características globais importantes (úteis para a prova):\n
- Domínio:
(todos os reais).\n - Imagem (intervalo de valores possíveis):
. Explicação: o menor valor ocorre em com ; para qualquer outro temos e então .\n - Simetria: a função é par porque
, então o gráfico é simétrico em relação ao eixo .\n - Monotonicidade: é decrescente em
(à medida que aumenta até , diminui e diminui) e crescente em .\n - Ponto mínimo:
(mínimo global).\n - Comportamento nas infinitudes:
e . Ou seja, as duas “pontas” do gráfico sobem para infinito; não existe assíntota horizontal para ambas as extremidades (o comportamento que aparece em quando não ocorre aqui porque o valor absoluto vira o expoente positivo).
Passo 7
Instrução prática para desenhar (passo a passo no papel):\n
- Desenhe os eixos
e . Marque o ponto .\n - No semieixo
, plote os pontos , , , e desenhe uma curva suave crescente passando por eles (essa é a curva de restrita a ).\n - Refleta essa curva em relação ao eixo
(ou seja, para cada ponto plotado com , coloque ). Isso produz o ramo para .\n - Verifique: o gráfico é uma “curva em V suave” que toca seu ponto mais baixo em
e cresce para dos dois lados.\n
Dica visual: não é uma linha reta em V; é duas curvas exponenciais que se encontram suavemente em.
Passo 8
Exemplos rápidos (para memorizar e usar na prova):\n
-
e .\n -
e (mesmo valor dos dois lados).\n
Esses exemplos reforçam que o gráfico tem os mesmos pontos à esquerda e à direita do eixo.
Resposta
Gráfico: função par
com domínio
e imagem
; mínimo global em
; para
a curva é
(crescente) e para
é o espelho em
de
(ou seja
); passa por
,
,
e cresce para
em ambas as extremidades.