Exercício 1.2.3 Construa a matriz C=\left(c_{i j}\right)_{5 \times 5} dada por a_{i j}=\left\{\begin{array}{cll}i & \text { se } & i=j \\\ j^{i} & \text { se } & i \neq j\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para construirmos a matriz C=(c_{ij})\) de ordem \(5\), em que cada elemento é dado por \[c_{ij} = \begin{cases} i, & \text{se } i = j,\\\ j^{i}, & \text{se } i \neq j. \end{cases}
O conteúdo aqui é simples: identificar quando estamos na diagonal (caso i=j\]) e quando estamos fora dela (caso \(i\neq j), aplicando a fórmula correspondente.

Passo 2

Vamos usar a regra diretamente para cada linha i:
  • Se j=i, então c_{ii}=i.
  • Se j\neq i, então c_{ij}=j^{i}.

Passo 3

Para i=1 e i=2 calculamos:
Para i=1: c_{11}=1, e para j\neq1 temos
c_{1j}=j^{1}=j,
logo a linha 1 é (1,2,3,4,5).
Para i=2: c_{22}=2, e para j\neq2
c_{2j}=j^{2},
então a linha 2 é (1,2,9,16,25).

Passo 4

Para i=3 e i=4:
Para i=3: c_{33}=3, e para j\neq3
c_{3j}=j^{3},
ficando a linha 3 (1,8,3,64,125).
Para i=4: c_{44}=4, e para j\neq4
c_{4j}=j^{4},
logo a linha 4 é (1,16,81,4,625).

Passo 5

Para i=5: c_{55}=5, e para j\neq5
c_{5j}=j^{5},
portanto a linha 5 é (1,32,243,1024,5).

Passo 6

Reunindo todas as linhas, obtemos a matriz C.

Resposta

C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 9 & 16 & 25 \\\\ 1 & 8 & 3 & 64 & 125 \\\\ 1 & 16 & 81 & 4 & 625 \\\\ 1 & 32 & 243 & 1024 & 5 \end{pmatrix}

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