Exercício 8 Construir um triângulo equilátero conhecendo a altura.
Passo 1
O enunciado pede para construir, com régua e compasso, um triângulo equilátero sabendo-se apenas a medida da sua altura . O conteúdo é construção clássica em geometria plana: em um triângulo equilátero a altura cai no ponto médio da base e divide o ângulo de em dois ângulos de .
Passo 2
Em todo triângulo equilátero de lado vale
logo
Não precisamos medir diretamente ; basta usar que a meia-base vale
e que no triângulo formado pela altura e meia-base temos um ângulo de em e de em .
Passo 3
Desenhe o segmento dado de comprimento h. No ponto B, trace a reta ell perpendicular a AB.
Passo 4
No ponto A, construa a semirreta que forma ang<= CAB = 30^circ usando AB como um dos lados do ângulo. Essa semirreta intersecta a reta ell em um ponto que chamaremos de C.
Passo 5
Meça com o compasso o segmento BC. Com centro em B e raio BC, trace um arco que corta novamente a reta ell num segundo ponto D. Assim BC = BD.
Passo 6
Una A a C e A a D.
Como em triang<= ABC temos ang<= ABC=90^circ e ang<= CAB=30^circ, segue que
BC = hraiz3, AC = hcos30^circ = 2hraiz3
E como BD=BC, o triângulo ACD tem
AC = AD = CD = 2hraiz3,
isto é, é equilátero.
Resposta
O triângulo equilátero construído é triang<= ACD, cuja altura medida em AB vale h.