Exercício 8 Construir um triângulo equilátero conhecendo a altura.

Passo 1

O enunciado pede para construir, com régua e compasso, um triângulo equilátero sabendo-se apenas a medida da sua altura h. O conteúdo é construção clássica em geometria plana: em um triângulo equilátero a altura cai no ponto médio da base e divide o ângulo de 60^circ em dois ângulos de 30^circ.

Passo 2

Em todo triângulo equilátero de lado a vale
h = raiz32,a
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a = 2hraiz3
Não precisamos medir diretamente a; basta usar que a meia-base vale
a2 = hraiz3
e que no triângulo formado pela altura e meia-base temos um ângulo de 90^circ em B e de 30^circ em A.

Passo 3

Desenhe o segmento dado AB de comprimento h. No ponto B, trace a reta ell perpendicular a AB.

Passo 4

No ponto A, construa a semirreta que forma ang<= CAB = 30^circ usando AB como um dos lados do ângulo. Essa semirreta intersecta a reta ell em um ponto que chamaremos de C.

Passo 5

Meça com o compasso o segmento BC. Com centro em B e raio BC, trace um arco que corta novamente a reta ell num segundo ponto D. Assim BC = BD.

Passo 6

Una A a C e A a D.
Como em triang<= ABC temos ang<= ABC=90^circ e ang<= CAB=30^circ, segue que
BC = hraiz3, AC = hcos30^circ = 2hraiz3
E como BD=BC, o triângulo ACD tem
AC = AD = CD = 2hraiz3,
isto é, é equilátero.

Resposta

O triângulo equilátero construído é triang<= ACD, cuja altura medida em AB vale h.

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