Exercício 5 Por dois pontos dados A e B traçar retas que se encontram numa reta dada r formando com ela ângulos iguais.

Passo 1

Temos dois pontos dados A e B e uma reta fixa r. Queremos traçar duas retas, uma passando por A e outra por B, de modo que ambas se encontrem num mesmo ponto P em r e formem com r ângulos iguais. Para resolver isso, vamos usar a ideia de reflexão: refletir um dos pontos em relação a r e reduzir o problema a igualar ângulos do mesmo lado de r.

Passo 2

Reflete B em relação à reta r. Denote essa reflexão por B'. Por construção, para qualquer Pin r vale
ang<=(BP,r)=ang<=(B'P,r)
Agora, queremos que
ang<=(AP,r)=ang<=(BP,r)
Mas como ang<=(BP,r)=ang<=(B'P,r), basta exigir ang<=(AP,r)=ang<=(B'P,r). Isso significa que, em P, a reta r é bissetriz do ângulo ang<= APB'. Pelo Teorema da Bissetriz, em P deve valer
PAPB'=1,
isto é, PA=PB'. Logo, P é um ponto de r equidistante de A e de B'.

Passo 3

Construa a mediatriz de AB'. Essa mediatriz intersecta r num único ponto P. Por construção, Pin r e PA=PB', garantindo que ang<=(AP,r)=ang<=(B'P,r)=ang<=(BP,r).
Una A a P e B a P. As retas AP e BP são as soluções procuradas: elas se encontram em Pin r e formam com r ângulos iguais.

Resposta

Basta refletir B em r para obter B', traçar a mediatriz de AB' encontrando o ponto P=mediatrizcap r, e então traçar as retas AP e BP. Essas duas retas satisfazem a condição de formarem com r ângulos iguais.

Exercícios relacionados