Exercício 5 Por dois pontos dados
e
traçar retas que se encontram numa reta dada
formando com ela ângulos iguais.
Passo 1
Temos dois pontos dados
e
e uma reta fixa
. Queremos traçar duas retas, uma passando por
e outra por
, de modo que ambas se encontrem num mesmo ponto
em
e formem com
ângulos iguais. Para resolver isso, vamos usar a ideia de reflexão: refletir um dos pontos em relação a
e reduzir o problema a igualar ângulos do mesmo lado de
.
Passo 2
Reflete
em relação à reta
. Denote essa reflexão por
. Por construção, para qualquer
vale
Agora, queremos que
Mas como
, basta exigir
. Isso significa que, em
, a reta
é bissetriz do ângulo
. Pelo Teorema da Bissetriz, em
deve valer
isto é,
. Logo,
é um ponto de
equidistante de
e de
.
Passo 3
Construa a mediatriz de
. Essa mediatriz intersecta
num único ponto
. Por construção,
e
, garantindo que
.
Una a
e
a
. As retas
e
são as soluções procuradas: elas se encontram em
e formam com
ângulos iguais.
Una
Resposta
Basta refletir
em
para obter
, traçar a mediatriz de
encontrando o ponto
, e então traçar as retas
e
. Essas duas retas satisfazem a condição de formarem com
ângulos iguais.