Exercício 3 - Continuidade de função por partes

Considere a função:
f(x, y)= 2 x yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) O limite existe em (0,0) ? Justifique.
(b) A função é contínua em (0,0) ? Explique.
Sugestão: Experimente os caminhos y=x, y=k x, etc.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x,y)= dfrac2xyx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pergunta se lim(x,y)to(0,0)f(x,y) existe e se f é contínua em (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de limite em duas variáveis, testando diferentes caminhos de aproximação a (0,0).

Passo 2

Considere a reta y=kx com k constante. Substituindo em f para (x,y)neq(0,0) temos
f(x,kx) =2x,(kx)x^2+(kx)^2 =2k,x^2x^2(1+k^2) =2k1+k^2
Ao fazermos xto0, o valor não depende de x, mas sim de k. Por exemplo, se k=0 obtemos
lim f(x,0)=0, e se k=1 obtemos
lim f(x,x)=2cdot11+1 =1.

Passo 3

Como a aproximação por y=0 dá limite 0 e por y=x dá limite 1, o valor de lim(x,y)to(0,0)f(x,y) depende do caminho. Logo, o limite não existe em (0,0).

Passo 4

Para que f fosse contínua em (0,0), precisaríamos ter
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Como o limite não existe, a condição de continuidade falha. Portanto, f não é contínua em (0,0).

Resposta

(a) O limite não existe em (0,0) porque ele varia conforme o caminho de aproximação.
(b) A função não é contínua em (0,0) já que o limite não existe e, em particular, não coincide com f(0,0)=0.

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