e pergunta se lim(x,y)to(0,0)f(x,y) existe e se f é contínua em (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de limite em duas variáveis, testando diferentes caminhos de aproximação a (0,0).
Passo 2
Considere a reta y=kx com k constante. Substituindo em f para (x,y)neq(0,0) temos
Ao fazermos xto0, o valor não depende de x, mas sim de k. Por exemplo, se k=0 obtemos lim f(x,0)=0, e se k=1 obtemos lim f(x,x)=2cdot11+1 =1.
Passo 3
Como a aproximação por y=0 dá limite 0 e por y=x dá limite 1, o valor de lim(x,y)to(0,0)f(x,y) depende do caminho. Logo, o limite não existe em (0,0).
Passo 4
Para que f fosse contínua em (0,0), precisaríamos ter
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Como o limite não existe, a condição de continuidade falha. Portanto, f não é contínua em (0,0).
Resposta
(a) O limite não existe em (0,0) porque ele varia conforme o caminho de aproximação.
(b) A função não é contínua em (0,0) já que o limite não existe e, em particular, não coincide com f(0,0)=0.