Problema 3 Resolva as integrais definidas abaixo.
integral2^3 3 x(x^2-5)^5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral2^33x,(x^2-5)^5,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais de funções compostas, pois temos uma função interna x^2-5 elevada a uma potência e um fator x vindo junto.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^2 - 5,
pois sua derivada aparece multiplicando no integrando. Diferenciando,
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = 12,du
Como no integrando temos 3x,dx, fica
3x,dx = 3cdot12,du = 32,du

Passo 3

Mudamos os limites de x para u:
quando x=2,
u = 2^2-5 = -1;
quando x=3,
u = 3^2-5 = 4

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, obtemos
integral2^33x,(x^2-5)^5,dx = integralu=-1^u=4u^5,32,du = 32integral-1^4u^5,du

Passo 5

Aplicamos a regra do poder para integrar u^5:
integral u^5,du = u^66
Logo,
32integral-1^4u^5,du = 32l[u^66r]-1^4 = 312l[u^6r]-1^4 = 14l[u^6r]-1^4

Passo 6

Avaliações de u=-1 a u=4:
14l(4^6 - (-1)^6r) = 14l(4096 - 1r) = 40954

Resposta

40954

Exercícios relacionados