Exercício 1. Uma corda tem uma de suas extremidades fixa a uma haste e a outra, conectada a um anel, pode deslizar ao longo de uma segunda haste. Considerando que a distância entre as hastes é L, qual é a relação entre o comprimento de onda das possíveis ondas estacionárias, que podem se formar, e a distância entre as hastes?

Passo 1

O enunciado descreve uma corda tensa com uma extremidade perfeitamente presa (fixa) numa haste e a outra presa a um anel que desliza livremente ao longo de uma segunda haste. A distância horizontal entre as hastes é L. O conteúdo aqui é ondas estacionárias numa corda com condições de contorno mistas: um nó numa extremidade e um antinó na outra.

Passo 2

Identificamos as condições de contorno:
– Extremidade fixa: deslocamento transversal zero ⇒ nó.
– Extremidade no anel deslizante: não há força de restituição lateral, logo essa extremidade atua como livre ⇒ deslocamento máximo ⇒ antinó.

Passo 3

Para ondas estacionárias numa corda, a distância entre um nó e o antinó seguinte vale \lambda/4. Se colocarmos um nó numa haste e um antinó na outra, o comprimento da corda L deve conter um número inteiro de segmentos nó–antinó–nó–antinó… mas começando num nó e terminando num antinó.

Passo 4

Cada par nó–antinó tem comprimento \lambda/4. Para o n-ésimo modo (com n=0,1,2,\dots), o comprimento total L é dado por
L = \bigl(2n+1\bigr)\,\frac{\lambda}{4}\,.
Isolando \lambda, obtemos
\lambda = \frac{4L}{2n+1} \qquad n=0,1,2,\dots

Resposta

\displaystyle \lambda_n = \frac{4L}{2n+1},\\ n=0,1,2,\dots

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