Exercício 1. Uma corda tem uma de suas extremidades fixa a uma haste e a outra, conectada a um anel, pode deslizar ao longo de uma segunda haste. Considerando que a distância entre as hastes é
, qual é a relação entre o comprimento de onda das possíveis ondas estacionárias, que podem se formar, e a distância entre as hastes?
Passo 1
O enunciado descreve uma corda tensa com uma extremidade perfeitamente presa (fixa) numa haste e a outra presa a um anel que desliza livremente ao longo de uma segunda haste. A distância horizontal entre as hastes é
. O conteúdo aqui é ondas estacionárias numa corda com condições de contorno mistas: um nó numa extremidade e um antinó na outra.
Passo 2
Identificamos as condições de contorno:
– Extremidade fixa: deslocamento transversal zero ⇒ nó.
– Extremidade no anel deslizante: não há força de restituição lateral, logo essa extremidade atua como livre ⇒ deslocamento máximo ⇒ antinó.
– Extremidade fixa: deslocamento transversal zero ⇒ nó.
– Extremidade no anel deslizante: não há força de restituição lateral, logo essa extremidade atua como livre ⇒ deslocamento máximo ⇒ antinó.
Passo 3
Para ondas estacionárias numa corda, a distância entre um nó e o antinó seguinte vale
. Se colocarmos um nó numa haste e um antinó na outra, o comprimento da corda
deve conter um número inteiro de segmentos nó–antinó–nó–antinó… mas começando num nó e terminando num antinó.
Passo 4
Cada par nó–antinó tem comprimento
. Para o
-ésimo modo (com
), o comprimento total
é dado por
Isolando
, obtemos