Exercício 4.8.3. Dada a aplicação linear F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
F(x, y, z)=(x-3 y+2 z, k x-2 y+k z, 3 x-y+4 z)
a) Encontrar os valores do parâmetro real k para os quais \operatorname{Ker} F tem dimensão 1 .
b) Encontrar os valores do parâmetro real k para os quais F è bijetiva.
c) Para k=1 determine a contra-imagem do vetor (0,0,6).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por
F(x,y,z) = (\,x - 3y + 2z,\;k x - 2y + k z,\;3x - y + 4z\,).
Vamos usar conceitos de álgebra linear: matriz associada à aplicação, determinante, posto (rank), nulidade (nullity) e o Teorema da Dimensão (rank‐nullity) para (a) achar quando \dim\ker F=1, (b) determinar bijetividade e (c) para k=1 resolver F(x,y,z)=(0,0,6).

Passo 2

Escrevemos a matriz de F na base canônica:
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\\ k & -2 & k\\\\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A) pela expansão de Laplace na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\bigl((-2)\cdot4 - k\cdot(-1)\bigr) -(-3)\cdot\bigl(k\cdot4 - k\cdot3\bigr) +2\cdot\bigl(k\cdot(-1) -(-2)\cdot3\bigr).
Isolando:
\det(A) = (k - 8) + 3k + (12 - 2k) = 2k + 4 = 2\,(k + 2).
Logo \det(A)=0 se, e somente se, k=-2.

Passo 3

Pela relação \dim\ker F + \rank(A) = 3, para ter \dim\ker F=1 precisamos de \rank(A)=2. Como \det(A)=0 implica \rank(A)<3, basta verificar que para k=-2 não caimos a \rank(A)<2. Por exemplo, no caso k=-2 a submatriz
\begin{pmatrix} 1 & -3\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix}
tem determinante -1 + 9 = 8\neq0, garantindo \rank(A)=2.
Portanto \dim\ker F=1 exatamente para
\boxed{k=-2.}

Passo 4

Uma aplicação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3 é bijetiva se, e somente se, seu determinante é não‐nulo (equivalente a ser injetora e sobrejetora). Logo
F\text{ é bijetiva}\quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq0\quad\Longleftrightarrow\quad k\neq -2.é

Passo 5

Para k=1\) queremos resolver \[F(x,y,z)=(0,0,6),
ou seja o sistema
\begin{cases} x - 3y + 2z = 0,\\\ x - 2y + z = 0,\\\\ 3x - y + 4z = 6. \end{cases}
Da segunda equação e da primeira subtraída da segunda obtemos z=y\] e então \(x=y. Substituindo na terceira:
3y - y + 4y = 6 \quad\Longrightarrow\quad 6y = 6 \quad\Longrightarrow\quad y = 1.
Logo x=y=z=1.

Resposta

a) k=-2.
b) k\neq -2.
c) A única contra‐imagem de (0,0,6) para k=1 é (1,1,1).

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