Exercício 4.8.2. Sejam F_{i}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} (com n e m oportunos), i=1,2,3, as aplicações que, com respeito às bases canônicas \mathcal{B}_{n} e \mathcal{B}_{m} de \mathbb{R}^{n} e \mathbb{R}^{m}, possuem matrizes representativas
Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
Passo 1
O enunciado fornece três aplicações lineares F_{1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}, F_{2}:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} e F_{3}:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{2}, cujas matrizes nas bases canônicas são
Queremos, para cada i=1,2,3, achar \ker F_{i}=\{x:M_{F_{i}}x=0\} e \Im F_{i}=\mathrm{span}\{\text{colunas de }M_{F_{i}}\}. Faremos eliminação de Gauss para cada matriz, obtendo a forma reduzida (RREF), daí extraímos base do núcleo (variáveis livres) e base da imagem (colunas-pivô).