Exercício 4.8.2. Sejam F_{i}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} (com n e m oportunos), i=1,2,3, as aplicações que, com respeito às bases canônicas \mathcal{B}_{n} e \mathcal{B}_{m} de \mathbb{R}^{n} e \mathbb{R}^{m}, possuem matrizes representativas
M_{F_{1}}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{4}}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 1 & -1 & -5 \\\\ -1 & 1 & 5 \\\\ -1 & -2 & -4 \end{array}\right), \quad M_{F_{2}}^{\mathcal{B}_{4}, \mathcal{B}_{3}}=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad M_{F_{3}}^{\mathcal{B}_{4}, \mathcal{B}_{2}}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)
Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.

Passo 1

O enunciado fornece três aplicações lineares F_{1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}, F_{2}:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} e F_{3}:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{2}, cujas matrizes nas bases canônicas são
M_{F_{1}}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & -5\\\\ -1&1&5\\\\ -1&-2&-4 \end{pmatrix},\quad M_{F_{2}}=\begin{pmatrix} 2&1&0&0\\\\ 1&0&-1&0\\\\ 0&1&0&1 \end{pmatrix},\quad M_{F_{3}}=\begin{pmatrix} 1&2&3&0\\\\ 1&-1&0&1 \end{pmatrix}.
Queremos, para cada i=1,2,3, achar \ker F_{i}=\{x:M_{F_{i}}x=0\} e \Im F_{i}=\mathrm{span}\{\text{colunas de }M_{F_{i}}\}. Faremos eliminação de Gauss para cada matriz, obtendo a forma reduzida (RREF), daí extraímos base do núcleo (variáveis livres) e base da imagem (colunas-pivô).

Passo 2

Determinar \ker F_{1} e \Im F_{1}.
A matriz
M_{F_{1}}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & -5\\\\ -1&1&5\\\\ -1&-2&-4 \end{pmatrix}
leva, por eliminação, à forma RREF
\begin{pmatrix} 1&0&-2\\\\ 0&1&3\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.
Das pivôs em colunas 1 e 2 segue que z é livre e
x=2z,\quad y=-3z,\quad z=z.
Logo
\ker F_{1}=\mathrm{span}\{(2,-3,1)\},\quad \dim\ker F_{1}=1.
Como pivôs em colunas 1 e 2, uma base de \Im F_{1}\subset\mathbb{R}^4 é
\{\,\text{col}_1(M_{F_{1}}),( \text{col}_2(M_{F_{1}})\} =\{(2,1,-1,-1),(1,-1,1,-2)\},
e \dim\Im F_{1}=2.

Passo 3

Determinar \ker F_{2} e \Im F_{2}.
A matriz
M_{F_{2}}=\begin{pmatrix} 2&1&0&0\\\\ 1&0&-1&0\\\\ 0&1&0&1 \end{pmatrix}
torna-se em RREF
\begin{pmatrix} 1&0&0&-\tfrac12\\\\ 0&1&0&1\\\\ 0&0&1&-\tfrac12 \end{pmatrix}.
Aqui x_{4}=t livre e
x_{1}=\tfrac12t,\quad x_{2}=-t,\quad x_{3}=\tfrac12t.
Assim
\ker F_{2}=\mathrm{span}\{(1,-2,1,2)\},\quad \dim\ker F_{2}=1.
Pivôs em colunas 1,2 e 3 dão como base de \Im F_{2}\subset\mathbb{R}^3 as colunas
\{(2,1,0),(1,0,1),(0,-1,0)\},
e \dim\Im F_{2}=3.

Passo 4

Determinar \ker F_{3} e \Im F_{3}.
A matriz
M_{F_{3}}=\begin{pmatrix} 1&2&3&0\\\\ 1&-1&0&1 \end{pmatrix}
reduz-se a
\begin{pmatrix} 1&0&1&\tfrac23\\\\ 0&1&1&-\tfrac13 \end{pmatrix}.
Com x_{3}=s, x_{4}=t livres, obtemos
x_{1}=-s-\tfrac23t,\quad x_{2}=-s+\tfrac13t,
logo
\ker F_{3}=\mathrm{span}\{(-1,-1,1,0),(-\tfrac23,\tfrac13,0,1)\},\quad \dim\ker F_{3}=2.
Pivôs em colunas 1 e 2 dão a base de \Im F_{3}\subset\mathbb{R}^2:
\{(1,1),(2,-1)\},
e \dim\Im F_{3}=2.

Resposta

F_{1}: \ker F_{1}=\mathrm{span}\{(2,-3,1)\}, \dim\ker F_{1}=1; \Im F_{1}=\mathrm{span}\{(2,1,-1,-1),(1,-1,1,-2)\}, \dim\Im F_{1}=2. F_{2}: \ker F_{2}=\mathrm{span}\{(1,-2,1,2)\}, \dim\ker F_{2}=1; \Im F_{2}=\mathrm{span}\{(2,1,0),(1,0,1),(0,-1,0)\}, \dim\Im F_{2}=3. F_{3}: \ker F_{3}=\mathrm{span}\{(-1,-1,1,0),(-\tfrac23,\tfrac13,0,1)\}, \dim\ker F_{3}=2; \Im F_{3}=\mathrm{span}\{(1,1),(2,-1)\}, \dim\Im F_{3}=2.

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