Exercício 4.8.5. Seja F: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} a aplicação linear que, com respeito à base canônica \mathcal{B}_{4} de \mathbb{R}^{4}, possui matriz representativa
M_{F}^{\mathcal{B}_{4}}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ -2 & 2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)
Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases. Além disto verificar que \mathbb{R}^{4}= \operatorname{Ker} F \oplus \operatorname{Im} F.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear F\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 cuja matriz na base canônica é
M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 2 & 1 & 1 \\[3pt] -2 & 2 & 0 & 0 \\[3pt] 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Pede-se \operatorname{Ker}F e \operatorname{Im}F, suas dimensões e bases, e mostrar que \mathbb{R}^4 = \operatorname{Ker}F \oplus \operatorname{Im}F.
Para isso, vamos (i) resolver M x=0 para obter a base do núcleo, e (ii) extrair colunas independentes de M para a base da imagem.]

Passo 2

Resolvendo M x=0\). Se \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\), as equações são \[\begin{cases} x_1 - x_2 = 0,\\\\ 2x_2 + x_3 + x_4 = 0,\\\\ -2x_1 + 2x_2 = 0,\\\ x_1 + x_2 + x_3 + x_4=0. \end{cases}
Das duas primeiras e da terceira vemos que a única condição nova é
x_1 = x_2, \quad x_3 + x_4 = -2x_2.
Logo temos 2 variáveis livres; por exemplo (s=x_2,;t=x_3]. Então
x=(s,s,t,-2s-t) =s\,(1,1,0,-2)\;+\;t\,(0,0,1,-1).
Assim
\dim\bigl(\operatorname{Ker}F\bigr)=2, \quad \text{base} =\bigl\{(1,1,0,-2),\,(0,0,1,-1)\bigr\}.

Passo 3

Para \operatorname{Im}F tomamos as colunas de M:
c_1=(1,0,-2,1),\; c_2=(-1,2,2,1),\; c_3=(0,1,0,1),\; c_4=(0,1,0,1).
Note que c_3=c_4, e que c_1,c_2 são independentes (verificando \alpha c_1+\beta c_2=0\Rightarrow\alpha=\beta=0). Além disso c_3 é combinação de c_1,c_2. Logo
\dim\bigl(\operatorname{Im}F\bigr)=2, \quad \text{base} =\bigl\{(1,0,-2,1),\,(-1,2,2,1)\bigr\}.

Passo 4

Para ver que \mathbb{R}^4 = \operatorname{Ker}F \oplus \operatorname{Im}F, note que unindo as duas bases temos 4 vetores em \mathbb{R}^4. Um cálculo rápido (ou resolução de sistema) mostra que eles são linearmente independentes, de modo que formam base de \mathbb{R}^4. Então cada vetor de \mathbb{R}^4 se escreve de modo único como soma de algo em \operatorname{Ker}F e algo em \operatorname{Im}F, ou seja
\mathbb{R}^4 = \operatorname{Ker}F \oplus \operatorname{Im}F.

Resposta

\displaystyle \ker F = \{\,s(1,1,0,-2)+t(0,0,1,-1)\mid s,t\in\mathbb{R}\},\;\dim\ker F=2.
base de \ker F\colon\{(1,1,0,-2),(0,0,1,-1)\}. \displaystyle \operatorname{Im}F = \mathrm{span}\{(1,0,-2,1),\,(-1,2,2,1)\},\;\dim\operatorname{Im}F=2.
E \displaystyle \mathbb{R}^4 = \ker F \oplus \operatorname{Im}F.

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