Exercício 4.8.4. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear que, com respeito à base canônica \mathcal{B}_{3} de \mathbb{R}^{3}, possui matriz representativa (lembre que com M_{F}^{\mathcal{B}_{3}} denotamos M_{F}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{3}} )
M_{F}^{\mathcal{B}_{3}}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & -2 \end{array}\right)
Encontrar os valores do parâmetro real h para os quais \mathbf{v}=(1, h+2, h) pertence a \operatorname{Ker} F e os valores de h para os quais \mathbf{v} pertence a \operatorname{Im} F.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
M = M_{F}^{\mathcal{B}_{3}} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}
e o vetor \mathbf{v}=(1,h+2,h). Precisamos achar os valores de h tais que
  1. \mathbf{v}\in\ker F, ou seja, F(\mathbf{v})=M\mathbf{v}=0.
  2. \mathbf{v}\in\operatorname{Im}F, ou seja, existe \mathbf{x} tal que M\mathbf{x}=\mathbf{v}.

Passo 2

Para \ker F calculamos
M\mathbf{v} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[3pt]h+2\\[3pt]h\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (h+2)+h\\[3pt] 1+h\\[3pt] -1-(h+2)-2h \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2h+2\\[3pt] h+1\\[3pt] -3h-3 \end{pmatrix}.
Impor M\mathbf{v}=0 gera o sistema
2h+2=0,\quad h+1=0,\quad -3h-3=0,
cuja única solução é h=-1. Portanto
\mathbf{v}\in\ker F\quad\Longleftrightarrow\quad h=-1.]

Passo 3

Para \operatorname{Im}F\) consideramos o sistema \[M\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[3pt]h+2\\[3pt]h\end{pmatrix},
isto é
\begin{cases} x_2 + x_3 = 1,\\\ x_1 + x_3 = h+2,\\\\ -\,x_1 - x_2 - 2x_3 = h. \end{cases}
Das duas primeiras equações obtemos x_2=1-x_3\] e \(x_1=h+2-x_3. Substituindo na terceira:
-\bigl(h+2-x_3\bigr)\;-\;(1-x_3)\;-\;2x_3 \;=\;h \;\Longrightarrow\;-h-3 = h \;\Longrightarrow\;h=-\frac32.
Esse é o único h que torna o sistema consistente, logo
\mathbf{v}\in\operatorname{Im}F\quad\Longleftrightarrow\quad h=-\tfrac32.]

Resposta

Para \mathbf{v}\in\ker F temos h=-1.
Para \mathbf{v}\in\operatorname{Im}F temos h=-\tfrac32.

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