Exercício 4. Represente graficamente as curvas descritas pelas seguintes funções vetoriais:
\vec{f}(t)=\operatorname{sen}(t) \vec{i}+2 \cos (t) \vec{k}, 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva dada pela função vetorial
\vec f(t)=\sin(t)\,\vec i + 2\cos(t)\,\vec k, \quad 0 \le t \le 2\pi.
O conteúdo é parametrização de curvas em \mathbb R^3 e vamos precisar eliminar o parâmetro para reconhecer a forma da curva.

Passo 2

Separamos as componentes de \vec f(t). Chamando
x(t)=\sin(t), \quad y(t)=0, \quad z(t)=2\cos(t),
vemos que a curva está contida no plano y=0, ou seja, no plano xz.

Passo 3

Eliminamos o parâmetro usando a identidade trigonométrica \sin^2(t)+\cos^2(t)=1. Como
\sin(t)=x, \quad \cos(t)=\frac{z}{2},
temos
x^2 + \Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^2 = 1.

Passo 4

A equação
x^2 + \frac{z^2}{4} = 1
é a forma padrão de uma elipse com centro na origem, semi-eixo maior b=2 na direção z e semi-eixo menor a=1 na direção x.

Passo 5

Para t=0 temos \vec f(0)=(0,0,2). Quando t aumenta, x=\sin(t) cresce para valores positivos enquanto z=2\cos(t) diminui ligeiramente, ou seja, o ponto desce para a direita. Portanto, à medida que t vai de 0 a 2\pi, a elipse é percorrida uma volta completa no sentido horário, começando em (0,2).

Resposta

A curva é a elipse no plano y=0 dada por
x^2 + \frac{z^2}{4} = 1,
com semi-eixos 1 (eixo x) e 2 (eixo z), percorrida no sentido horário para 0\le t\le2\pi, começando em (0,2).

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