Exercício 5. Em um determinado processo de fabricação, 10 \% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.
a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma caixa.
b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas em uma caixa?
c) Num total de 1000 caixas. Qual o valor esperado de número de caixas que apresentam 1 ou mais defeito?

Passo 1

O enunciado diz que em cada caixa há n=5 peças e que cada peça, independentemente, tem probabilidade p=0,1 de ser defeituosa. Vamos modelar o número de peças defeituosas em uma caixa como uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n=5 e p=0,1. Para resolver, usaremos a fórmula da probabilidade binomial e a propriedade de soma de probabilidades complementares.

Passo 2

Para a parte (a), queremos
\Pr(X=3)=\binom{5}{3}p^3(1-p)^{5-3}.
Calculando:
\binom{5}{3}=10,\quad p^3=(0,1)^3=0,001,\quad(1-p)^2=(0,9)^2=0,81,
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\Pr(X=3)=10\cdot0,001\cdot0,81=0,0081.

Passo 3

Para a parte (b), queremos
\Pr(X\ge2)=1-\Pr(X<2)=1-\bigl[\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\bigr].
Calculamos
\Pr(X=0)=(0,9)^5=0,59049,
\Pr(X=1)=\binom{5}{1}(0,1)(0,9)^4=5\cdot0,1\cdot0,6561=0,32805.
Portanto
\Pr(X\ge2)=1-(0,59049+0,32805)=0,08146\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Na parte (c) temos 1000 caixas independentes. Seja Y o número de caixas que apresentam pelo menos um defeito. Podemos escrever
Y=\sum_{i=1}^{1000}I_i,
onde I_i é a variável indicadora do evento “caixa i tem \ge1 defeito”. Tem-se
\Pr(I_i=1)=\Pr(X\ge1)=1-\Pr(X=0)=1-0,59049=0,40951.
Pela linearidade da esperança,
\mathbb{E}[Y]=\sum_{i=1}^{1000}\mathbb{E}[I_i]=1000\cdot0,40951=409,51.

Resposta

(a) \Pr(X=3)=0,0081.
(b) \Pr(X\ge2)=0,08146 (aprox.).
(c) \mathbb{E}[\text{caixas com }\ge1\text{ defeito}]=409,51.

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