Questão 4. Determine, se possível, x in R para que a matriz ccc0 & 2 x & 1 x^2 & 0 & -4 x x+1 & x^3 & 0 seja:
anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de xinR que tornam a matriz
A=0 & 2x & 1 x^2 & 0 & -4x x+1 & x^3 & 0
uma matriz anti-simétrica. Esse conteúdo envolve a definição de matriz anti-simétrica, que exige que A^T = -A e, em particular, que todos os elementos da diagonal sejam zero (o que já vale) e que aij = -aji para ineq j.

Passo 2

Para os índices (1,2) e (2,1) temos a condição
2x = -l(x^2r)
Resolvendo, obtemos
x^2 + 2x = 0 Longrightarrow x(x+2)=0 Longrightarrow x=0 ou x=-2

Passo 3

Para os índices (1,3) e (3,1) a condição é
1 = -l(x+1r)
Logo
1 + x + 1 = 0 Longrightarrow x + 2 = 0 Longrightarrow x = -2

Passo 4

Para os índices (2,3) e (3,2) a condição fica
-4x = -l(x^3r)
Isso dá
x^3 - 4x = 0 Longrightarrow x(x^2 - 4)=0 Longrightarrow x=0,,2, ou -2

Passo 5

Fazendo a intersecção dos conjuntos de soluções:
para (1,2) obtivemos 0,-2, para (1,3) -2 e para (2,3) 0,2,-2. O único valor comum é x = -2.

Resposta

x = -2

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