Exercício 6. Dadas \vec{u}(t)=t^{2} \vec{i}-3 t \vec{k}, \vec{v}(t)= -4 t^{3} \vec{j}+(t+1) \vec{k} e \vec{w}(t)=3 t^{2} \vec{i}+t \vec{j}-t^{3} \vec{k}
(\vec{u} \cdot \vec{v})^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede a derivada do produto escalar \vec{u}(t)\cdot\vec{v}(t). Aqui o conteúdo é cálculo de produto escalar de vetores em função de t e depois derivação de um polinômio.

Passo 2

Extraímos as componentes: \vec{u}(t) = (\,t^{2},\,0,\,-3t) \vec{v}(t) = (\,0,\,-4t^{3},\,t+1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar componente a componente:
\vec{u}(t)\cdot\vec{v}(t) = t^{2}\cdot 0 + 0\cdot(-4t^{3}) + (-3t)\cdot(t+1) = -3t\,(t+1) = -3t^{2} - 3t

Passo 4

Derivamos o polinômio resultante usando regras usuais:
\frac{d}{dt}\bigl(-3t^{2}-3t\bigr) = -6t - 3

Resposta

(\vec{u}\cdot\vec{v})' = -6t - 3

Exercícios relacionados