Resolva a seguinte EDO:
10 y^{\prime}=\frac{1-y^{2}}{x+3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
10\,y' = \frac{1 - y^{2}}{x + 3},
que podemos tratar como uma EDO separável. Vamos precisar reescrever em forma \frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y), separar variáveis e integrar cada lado.

Passo 2

Colocamos a derivada explícita:
y' = \frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y^{2}}{10\,(x + 3)}.

Passo 3

Separamos as variáveis y e x levando tudo que envolve y para a esquerda e x para a direita:
\frac{dy}{1 - y^{2}} = \frac{dx}{10\,(x + 3)}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{1 - y^{2}} = \int \frac{dx}{10\,(x + 3)}.

Passo 5

Cálculo das integrais:
A integral à esquerda é a função \operatorname{arctanh}(y), pois
\int \frac{dy}{1 - y^{2}} = \operatorname{arctanh}(y) + C_{1}.
A integral à direita dá
\int \frac{dx}{10\,(x + 3)} = \frac{1}{10}\,\ln\bigl|x + 3\bigr| + C_{2}.
Somando as constantes em uma só C, obtemos a solução implícita
\operatorname{arctanh}(y) = \frac{1}{10}\,\ln\bigl|x + 3\bigr| + C.

Passo 6

Para resolver para y, aplicamos a função tangente hiperbólica inversa:
y = \operatorname{tanh}\!\Bigl(\operatorname{arctanh}(y)\Bigr) = \operatorname{tanh}\!\Bigl(\tfrac{1}{10}\,\ln\bigl|x + 3\bigr| + C\Bigr).

Resposta

y(x) = \operatorname{tanh}\!\Bigl(\tfrac{1}{10}\,\ln\lvert x + 3\rvert + C\Bigr),
onde C é constante arbitrária.

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