Mostrar que as equações dos problemas 14, 15 e 16 são homogêneas e achar as soluções respectivas.
14- \frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}.
14- \frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela é homogênea e, em seguida, resolver.
Passo 2
Uma função
é homogênea de grau zero se
para todo
. Aqui
Logo,
portanto
é homogênea de grau zero.
Passo 3
Para resolver usamos a substituição padrão para equações homogêneas:
Substituindo na equação original:
Cancelando
em ambos os lados, obtemos
Passo 4
O último passo é separar variáveis e integrar:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável
, temos
Resposta
A equação é homogênea e sua solução geral é
com
constante de integração.