Mostrar que as equações dos problemas 14, 15 e 16 são homogêneas e achar as soluções respectivas.
14- \frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x}
e pede para mostrar que ela é homogênea e, em seguida, resolver.

Passo 2

Uma função f(x,y) é homogênea de grau zero se
f(t x, t y) = f(x,y)
para todo t\neq0. Aqui
f(x,y) = \frac{x+y}{x}.
Logo,
f(t x, t y) = \frac{t x + t y}{t x} = \frac{t(x+y)}{t x} = \frac{x+y}{x} = f(x,y),
portanto f é homogênea de grau zero.

Passo 3

Para resolver usamos a substituição padrão para equações homogêneas:
y = v x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + v x}{x} = 1 + v.
Cancelando v em ambos os lados, obtemos
x\frac{dv}{dx} = 1.

Passo 4

O último passo é separar variáveis e integrar:
\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad dv = \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \int dv = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad v = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável y, temos
y = v x = x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr) = x\ln\lvert x\rvert + Cx.

Resposta

A equação é homogênea e sua solução geral é
\boxed{y = x\ln\lvert x\rvert + C\,x,}
com C constante de integração.

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