Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede um esboço das regiões do plano que satisfazem o sistema
Lista clara do que foi dado e o que se pede:
- Dadas as duas inequações acima.
- Pedem-se as regiões do plano
que satisfazem simultaneamente essas duas condições (ou seja, a interseção das duas metades do plano definidas por cada inequação).
Nada mais será assumido neste passo — só foi identificado o que o problema dá e o que precisa ser desenhado.]
Passo 2
Tratar a primeira inequação. Reescrevemos
isolando
. Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando por
e lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade:
Interpretação: a equação de fronteira é a reta
. A desigualdade estrita
corresponde ao semiplano estrito “acima” dessa reta. Como a desigualdade é estrita, ao desenhar a reta
deve-se usar traço pontilhado/dashed (não incluir a própria reta).
Passo 3
Tratar a segunda inequação. Temos
que é equivalente a
Interpretação: a fronteira é a reta vertical
. A desigualdade é não-estrita (
), portanto a reta
pertence à região (desenhar essa linha sólida). O semiplano correspondente é o conjunto de pontos à direita dessa reta (incluindo a reta).
Passo 4
Decidir para cada reta qual lado pertence à região (teste de ponto). É prático usar pontos fáceis:
- Para a reta
: testar o ponto . Avaliando em dá , ou seja , falso. Logo fica do lado NÃO pertencente ao semiplano; portanto o semiplano pertencente é o lado oposto — isto é, o lado acima da reta (como já sabíamos pela forma ). - Para a reta
: testar . Avaliando dá , falso. Logo o semiplano pertencente é o lado oposto, isto é, à direita da reta (como também já vimos).
Passo 5
Encontrar a interseção das duas regiões. A região pedida é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente
Geometricamente: é o semiplano acima da reta
(essa reta não incluída), restringido ao semiplano à direita da reta vertical
(essa reta incluída). Assim a região é uma “fatia” no canto superior-direito, ilimitada para cima e para a direita.
Observações sobre fronteiras e pontos especiais:
- A reta vertical
faz parte da região (linha sólida). Para pontos nela a condição reduz a (quando temos ), então o ponto NÃO pertence (porque não satisfaz ), mas por exemplo pertence. - A reta
NÃO pertence à região (deve ser desenhada tracejada). Por exemplo fica sobre a reta e não pertence porque não satisfaz . - Exemplos:
pertence porque e ; não pertence porque é falso mesmo que seja verdadeiro.
Passo 6
Instrução passo a passo para fazer o esboço:
- Desenhar os eixos
e . - Desenhar a reta vertical
como linha sólida (pois ); marque o valor no eixo . - Desenhar a reta oblíqua
como linha tracejada (pois ); ela intercepta o eixo em e tem inclinação . - Sombrear (ou usar hachura) a região à direita da reta
e, simultaneamente, a região acima da reta . O sombreamento efetivo é a interseção desses dois sombreados. - Opcionalmente, marcar um ponto interno de referência (por exemplo
) para indicar que a região está no canto superior-direito e é ilimitada.