Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
R:\left\{\begin{array}{l}x-y+1<0 \\\ x-3 \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede um esboço das regiões do plano que satisfazem o sistema
R:\begin{cases} x-y+1<0\\[4pt] x-3\ge 0 \end{cases}
Lista clara do que foi dado e o que se pede:
  • Dadas as duas inequações acima.
  • Pedem-se as regiões do plano (x,y) que satisfazem simultaneamente essas duas condições (ou seja, a interseção das duas metades do plano definidas por cada inequação).
    Nada mais será assumido neste passo — só foi identificado o que o problema dá e o que precisa ser desenhado.]

Passo 2

Tratar a primeira inequação. Reescrevemos
x-y+1<0
isolando y. Subtraindo x+1 de ambos os lados:
-y< -x-1.
Multiplicando por -1 e lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade:
y> x+1.
Interpretação: a equação de fronteira é a reta \,y=x+1. A desigualdade estrita y> x+1 corresponde ao semiplano estrito “acima” dessa reta. Como a desigualdade é estrita, ao desenhar a reta \,y=x+1 deve-se usar traço pontilhado/dashed (não incluir a própria reta).

Passo 3

Tratar a segunda inequação. Temos
x-3\ge 0,
que é equivalente a
x\ge 3.
Interpretação: a fronteira é a reta vertical \,x=3. A desigualdade é não-estrita ( \ge), portanto a reta \,x=3 pertence à região (desenhar essa linha sólida). O semiplano correspondente é o conjunto de pontos à direita dessa reta (incluindo a reta).

Passo 4

Decidir para cada reta qual lado pertence à região (teste de ponto). É prático usar pontos fáceis:
  • Para a reta \,y=x+1: testar o ponto (0,0). Avaliando (0,0) em y> x+1 0>0+1, ou seja 0>1, falso. Logo (0,0) fica do lado NÃO pertencente ao semiplano; portanto o semiplano pertencente é o lado oposto — isto é, o lado acima da reta (como já sabíamos pela forma y> x+1).
  • Para a reta \,x=3: testar (0,0). Avaliando x\ge 3 0\ge 3, falso. Logo o semiplano pertencente é o lado oposto, isto é, à direita da reta x=3 (como também já vimos).

Passo 5

Encontrar a interseção das duas regiões. A região pedida é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente
x\ge 3\quad\text{e}\quad y> x+1.
Geometricamente: é o semiplano acima da reta \,y=x+1 (essa reta não incluída), restringido ao semiplano à direita da reta vertical \,x=3 (essa reta incluída). Assim a região é uma “fatia” no canto superior-direito, ilimitada para cima e para a direita.
Observações sobre fronteiras e pontos especiais:
  • A reta vertical \,x=3 faz parte da região (linha sólida). Para pontos nela a condição reduz a y>4 (quando x=3 temos y>3+1=4), então o ponto (3,4) NÃO pertence (porque y=4 não satisfaz >), mas por exemplo (3,4{,}1) pertence.
  • A reta \,y=x+1 NÃO pertence à região (deve ser desenhada tracejada). Por exemplo (4,5) fica sobre a reta e não pertence porque y= x+1 não satisfaz >.
  • Exemplos: (4,6) pertence porque 4\ge3 e 6>4+1; (2,5) não pertence porque 2\ge3 é falso mesmo que 5>2+1 seja verdadeiro.

Passo 6

Instrução passo a passo para fazer o esboço:
  1. Desenhar os eixos x e y.
  2. Desenhar a reta vertical x=3 como linha sólida (pois \ge); marque o valor x=3 no eixo x.
  3. Desenhar a reta oblíqua y=x+1 como linha tracejada (pois >); ela intercepta o eixo y em y=1 e tem inclinação 1.
  4. Sombrear (ou usar hachura) a região à direita da reta x=3 e, simultaneamente, a região acima da reta y=x+1. O sombreamento efetivo é a interseção desses dois sombreados.
  5. Opcionalmente, marcar um ponto interno de referência (por exemplo (4,6)) para indicar que a região está no canto superior-direito e é ilimitada.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 3,\; y> x+1\}

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