Exercício 4. Dados os vetores
e
, só existe uma forma de colocar parênteses nas expressões abaixo de maneira a obter um cálculo que faça sentido. Insira os parênteses e calcule:
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e
e pede que se insiram parênteses na expressão
de modo que o cálculo faça sentido, e em seguida que se calcule o resultado. Informação relevante dada:
-
-
-
A pergunta é: onde colocar parênteses para que a expressão seja bem definida, e qual é o valor final após a avaliação.
Passo 2
Análise das operações possíveis (sem calcular ainda), explicando o que cada símbolo significa:
- O símbolo
entre vetores representa o produto escalar (ou dot product). Para vetores em vale a regra abaixo. - A barra
aqui indica divisão por um número (escalar). Divisão de vetor por vetor não é uma operação padrão definida; já divisão de vetor por escalar é definida como multiplicação pelo recíproco do escalar.
Conclusão lógica: para que a expressão faça sentido devemos garantir que o denominador da divisão seja um escalar. A única forma de obter um escalar nesta expressão é calcular primeiro o produto escalar
e depois dividir
por esse escalar. Portanto a única colocação de parênteses que faz sentido é
Passo 3
Explicando e calculando o produto escalar
:
- Regra do produto escalar em
: se e , então
- Aqui
e . Aplicando a fórmula:
Calcule passo a passo:
então
Passo 4
Agora que
é o escalar
, interpretamos a divisão de vetor por escalar:
- Definição: se
e é escalar não nulo, então
- No nosso caso
e . Logo
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida: como o produto escalar deu
, dividir por
não altera o vetor. Assim a expressão com parênteses
é bem definida e igual a
.