Exercício 4. Dados os vetores vec{u}=\langle 2,4\rangle, \vec{v}=\langle-5,2\rangle e vec{w}=\langle 1,3\rangle, só existe uma forma de colocar parênteses nas expressões abaixo de maneira a obter um cálculo que faça sentido. Insira os parênteses e calcule:
\vec{u} / \vec{v} \cdot \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=\langle 2,4\rangle, \vec{v}=\langle -5,2\rangle e \vec{w}=\langle 1,3\rangle e pede que se insiram parênteses na expressão
\vec{u} / \vec{v} \cdot \vec{w}
de modo que o cálculo faça sentido, e em seguida que se calcule o resultado. Informação relevante dada:
  • \vec{u}=\langle 2,4\rangle
  • \vec{v}=\langle -5,2\rangle
  • \vec{w}=\langle 1,3\rangle
    A pergunta é: onde colocar parênteses para que a expressão seja bem definida, e qual é o valor final após a avaliação.

Passo 2

Análise das operações possíveis (sem calcular ainda), explicando o que cada símbolo significa:
  • O símbolo \cdot entre vetores representa o produto escalar (ou dot product). Para vetores em \mathbb{R}^2 vale a regra abaixo.
  • A barra / aqui indica divisão por um número (escalar). Divisão de vetor por vetor não é uma operação padrão definida; já divisão de vetor por escalar é definida como multiplicação pelo recíproco do escalar.
Conclusão lógica: para que a expressão faça sentido devemos garantir que o denominador da divisão seja um escalar. A única forma de obter um escalar nesta expressão é calcular primeiro o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{w} e depois dividir \vec{u} por esse escalar. Portanto a única colocação de parênteses que faz sentido é
\vec{u}\\ /\\ \bigl(\vec{v}\cdot\vec{w}\bigr).

Passo 3

Explicando e calculando o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{w}:
  • Regra do produto escalar em \mathbb{R}^2: se \vec{a}=\langle a_1,a_2\rangle e \vec{b}=\langle b_1,b_2\rangle, então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2.
  • Aqui \vec{v}=\langle -5,2\rangle e \vec{w}=\langle 1,3\rangle. Aplicando a fórmula:
\vec{v}\cdot\vec{w}=(-5)\cdot 1 + 2\cdot 3.
Calcule passo a passo:
(-5)\cdot 1 = -5,\qquad 2\cdot 3 = 6,
então
\vec{v}\cdot\vec{w} = -5 + 6 = 1.

Passo 4

Agora que \vec{v}\cdot\vec{w} é o escalar 1, interpretamos a divisão de vetor por escalar:
  • Definição: se \vec{u}=\langle u_1,u_2\rangle e s é escalar não nulo, então
\frac{\vec{u}}{s} = \left\langle \frac{u_1}{s},\frac{u_2}{s}\right\rangle = \frac{1}{s}\,\vec{u}.
  • No nosso caso s=\vec{v}\cdot\vec{w}=1 e \vec{u}=\langle 2,4\rangle. Logo
\frac{\vec{u}}{\vec{v}\cdot\vec{w}}=\frac{\vec{u}}{1}=\left\langle \frac{2}{1},\frac{4}{1}\right\rangle=\langle 2,4\rangle.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida: como o produto escalar deu 1, dividir por 1 não altera o vetor. Assim a expressão com parênteses \vec{u}/(\vec{v}\cdot\vec{w}) é bem definida e igual a \vec{u}.

Resposta

\langle 2,4\rangle

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