Exercício 5. Dado
, determine:
dois vetores unitários ortogonais a
;
dois vetores unitários ortogonais a
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede para determinar dois vetores unitários ortogonais a
.
Informações relevantes fornecidas:
-
. - Queremos dois vetores que satisfaçam duas propriedades simultâneas:
- Ser ortogonais a
(ou seja, perpendiculares a ). - Serem unitários (tiverem norma igual a
).
- Ser ortogonais a
Passo 2
Entender o que significa “ortogonal” em vetores no plano e como achar vetores ortogonais.
- Definição (dot product): para dois vetores
e , o produto escalar (dot product) é
Aqui
são as componentes dos vetores — números reais.
- Condição de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero:
Aplicando isso ao nosso caso: seja um vetor genérico ortogonal a
dado por
. Então deve valer
Essa equação relaciona
e
. Podemos resolver para uma variável em função da outra; por exemplo, isolando
:
Uma forma prática é introduzir um parâmetro
e escrever todas as soluções como múltiplos de um vetor particular. Se escolhermos
então
. Assim todos os vetores ortogonais a
têm a forma
onde
é um número real. Isso mostra que
é um vetor ortogonal a
(e qualquer múltiplo seu também é).
Passo 3
Agora vamos obter vetores unitários (norma
). Primeiro calcule a norma do vetor
.
- Norma (comprimento) de um vetor
é
Aqui
e
são as componentes.
Calculemos:
Para transformar qualquer vetor
em um vetor unitário na mesma direção, dividimos
pela sua norma:
Aplicando isso a
, obtemos um vetor unitário ortogonal a
:
Um segundo vetor ortogonal pode ser simplesmente o oposto de
, isto é
. Normalizando:
Passo 4
Vamos checar rapidamente que essas duas propriedades (ortogonalidade e norma
) realmente valem.
Verificação da ortogonalidade (usar produto escalar):
Mesmo cálculo dará
para
.
Verificação da norma:
Mesma coisa para
.
Tudo confere: ambos são unitários e ortogonais a
.