Exercício 5. Dado vec{u}=\langle 3,4\rangle, determine:
dois vetores unitários ortogonais a \vec{u};

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{u}=\langle 3,4\rangle e pede para determinar dois vetores unitários ortogonais a \vec{u}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \vec{u}=\langle 3,4\rangle.
  • Queremos dois vetores que satisfaçam duas propriedades simultâneas:
    1. Ser ortogonais a \vec{u} (ou seja, perpendiculares a \vec{u}).
    2. Serem unitários (tiverem norma igual a 1).

Passo 2

Entender o que significa “ortogonal” em vetores no plano e como achar vetores ortogonais.
  • Definição (dot product): para dois vetores \vec{v}=\langle a,b\rangle e \vec{w}=\langle c,d\rangle, o produto escalar (dot product) é
\vec{v}\cdot\vec{w}=ac+bd.
Aqui a,b,c,d são as componentes dos vetores — números reais.
  • Condição de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero:
\vec{v}\cdot\vec{w}=0.
Aplicando isso ao nosso caso: seja um vetor genérico ortogonal a \vec{u} dado por \vec{v}=\langle a,b\rangle. Então deve valer
\vec{u}\cdot\vec{v}=3a+4b=0.
Essa equação relaciona a e b. Podemos resolver para uma variável em função da outra; por exemplo, isolando a:
3a+4b=0 \quad\Rightarrow\quad a=-\tfrac{4}{3}b.
Uma forma prática é introduzir um parâmetro t e escrever todas as soluções como múltiplos de um vetor particular. Se escolhermos b=3t então a=-4t. Assim todos os vetores ortogonais a \vec{u} têm a forma
\vec{v}=t\langle -4,3\rangle,
onde t é um número real. Isso mostra que \langle -4,3\rangle é um vetor ortogonal a \vec{u} (e qualquer múltiplo seu também é).

Passo 3

Agora vamos obter vetores unitários (norma 1). Primeiro calcule a norma do vetor \langle -4,3\rangle.
  • Norma (comprimento) de um vetor \vec{v}=\langle a,b\rangle é
\|\vec{v}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Aqui a e b são as componentes.
Calculemos:
\|\langle -4,3\rangle\|=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Para transformar qualquer vetor \vec{v} em um vetor unitário na mesma direção, dividimos \vec{v} pela sua norma:
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
Aplicando isso a \langle -4,3\rangle, obtemos um vetor unitário ortogonal a \vec{u}:
\hat{v}_1=\frac{1}{5}\langle -4,3\rangle=\big\langle -\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\big\rangle.
Um segundo vetor ortogonal pode ser simplesmente o oposto de \langle -4,3\rangle, isto é \langle 4,-3\rangle. Normalizando:
\hat{v}_2=\frac{1}{5}\langle 4,-3\rangle=\big\langle \tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\big\rangle.

Passo 4

Vamos checar rapidamente que essas duas propriedades (ortogonalidade e norma 1) realmente valem.
Verificação da ortogonalidade (usar produto escalar):
\vec{u}\cdot\hat{v}_1 = \langle 3,4\rangle\cdot\big\langle -\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\big\rangle =3\left(-\tfrac{4}{5}\right)+4\left(\tfrac{3}{5}\right) =\tfrac{-12+12}{5}=0.
Mesmo cálculo dará 0 para \hat{v}_2.
Verificação da norma:
\|\hat{v}_1\|=\sqrt{\left(-\tfrac{4}{5}\right)^{2}+\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\tfrac{16}{25}+\tfrac{9}{25}}=\sqrt{\tfrac{25}{25}}=1.
Mesma coisa para \hat{v}_2.
Tudo confere: ambos são unitários e ortogonais a \vec{u}.

Resposta

\big\langle -\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\big\rangle
\big\langle \tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\big\rangle

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