Exercício 4. Dados os vetores vec{u}=\langle 2,4\rangle, \vec{v}=\langle-5,2\rangle e vec{w}=\langle 1,3\rangle, só existe uma forma de colocar parênteses nas expressões abaixo de maneira a obter um cálculo que faça sentido. Insira os parênteses e calcule:
\vec{u}+\vec{v} \cdot \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para inserir parênteses na expressão de modo que o cálculo faça sentido, e então calcular o resultado. Dados:
  • \vec{u}=\langle 2,4\rangle
  • \vec{v}=\langle -5,2\rangle
  • \vec{w}=\langle 1,3\rangle
A expressão a ser parentetizada é \vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{w}.
O que precisa ser respondido:
  • Colocar os parênteses na única forma que torna a expressão bem definida.
  • Calcular numericamente o valor resultante dessa expressão parentetizada.

Passo 2

Vamos pensar que operações são válidas entre vetores em \mathbb{R}^2:
  • A soma \vec{a}+\vec{b} entre dois vetores é um vetor.
  • O produto escalar (dot product) \vec{a}\cdot\vec{b} entre dois vetores é um escalar.
    Portanto, não faz sentido somar um vetor com um escalar. Se escrevêssemos \vec{u}+(\vec{v}\cdot\vec{w}) isso seria \text{vetor} + \text{escalar}, o que é inválido. A única forma que faz sentido é primeiro somar vetores e depois fazer o produto escalar com outro vetor: isso é
(\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}.
Essa é a única parentetização válida.

Passo 3

Lembra do que é produto escalar em componentes (definição e interpretação simples):
  • Se \vec{a}=\langle a_1,a_2\rangle e \vec{b}=\langle b_1,b_2\rangle, então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2.
Também vale a propriedade distributiva que é útil para checar respostas:
(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}.
Aqui vamos calcular primeiro \vec{u}+\vec{v}. Em componentes:
\vec{u}+\vec{v}=\langle 2+(-5),\;4+2\rangle=\langle -3,\;6\rangle.

Passo 4

Agora aplicamos a definição do produto escalar entre \langle -3,6\rangle e \langle 1,3\rangle:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}=\langle -3,6\rangle\cdot\langle 1,3\rangle = (-3)\cdot 1 + 6\cdot 3 = -3 + 18 = 15.
Como checagem rápida usando a distributividade:
\vec{u}\cdot\vec{w} = \langle 2,4\rangle\cdot\langle 1,3\rangle = 2\cdot1 + 4\cdot3 = 2 + 12 = 14,
\vec{v}\cdot\vec{w} = \langle -5,2\rangle\cdot\langle 1,3\rangle = (-5)\cdot1 + 2\cdot3 = -5 + 6 = 1,
e então \vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}=14+1=15, confirmando o resultado.

Resposta

15

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