Exercício 2. Dados os conjuntos A=\{0\}, B=\{0,1\}, C=\{\{0\}, 1\} e D=\{\{0\},\{1\}\}, decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
B \in D

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{0\},\quad B=\{0,1\},\quad C=\{\{0\},1\},\quad D=\{\{0\},\{1\}\}
e pergunta se a afirmação \;B\in D\; é verdadeira ou falsa.
Informações relevantes dadas: os elementos explícitos de cada conjunto estão acima. A tarefa é decidir se o conjunto B é um dos elementos listados em D.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer um conceito chave (muito importante e que costuma confundir): o que significa \in (pertencer) e a diferença entre um elemento e um subconjunto.
  • A notação \;x\in Y\; significa que x é exatamente um dos elementos da coleção Y. Por exemplo, como A=\{0\}, temos \;0\in A\; porque o elemento 0 está dentro de A.
  • Já a notação \;X\subseteq Y\; significa que todo elemento de X é também elemento de Y — ou seja, X é um subconjunto de Y. Por exemplo, \{0\}\subseteq B porque o único elemento de \{0\}, que é 0, está em B.
Um ponto sutil: \{0\} (o conjunto cujo único elemento é 0) é diferente de 0 (o número). Assim, pode acontecer de 0\in A e \{0\}\notin A ao mesmo tempo.

Passo 3

Agora vamos ver o que é exatamente D. O enunciado nos dá
D=\{\{0\},\{1\}\}.
Portanto os elementos de D são exatamente dois objetos: o conjunto \{0\} e o conjunto \{1\}. Em palavras: "dentro de D estão os conjuntos singleton \{0\} e \{1\}".

Passo 4

Vamos comparar B com os elementos de D. Temos
B=\{0,1\}.
Agora verificamos se B coincide com algum dos elementos de D:
  • B=\{0,1\} não é igual a \{0\}, porque \{0,1\} tem dois elementos enquanto \{0\} tem um. Em notação de cardinalidade: |B|=2 e |\{0\}|=1. Logo B\neq\{0\}.
  • B=\{0,1\} também não é igual a \{1\}, pelo mesmo motivo: |\{1\}|=1, portanto B\neq\{1\}.
Como B não é igual a nenhum dos elementos listados em D, concluímos que B não é um elemento de D.

Passo 5

Para reforçar a intuição: D contém os conjuntos \{0\} e \{1\}. O conjunto \{0,1\} (que é B) é um conjunto diferente — tem ambos os elementos 0 e 1 — portanto não aparece como elemento em D. É correto dizer que \{0\}\in D e \{1\}\in D, mas não é correto dizer \{0,1\}\in D.

Resposta

Falso

Exercícios relacionados