Exercício 2. Dados os conjuntos A=\{0\}, B=\{0,1\}, C=\{\{0\}, 1\} e D=\{\{0\},\{1\}\}, decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
A \cap C=\varnothing

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos abaixo e pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
A=\{0\}
C=\{\{0\},\,1\}
A afirmação a verificar é: A\cap C=\varnothing. Listei aqui as informações relevantes que o enunciado deu:
  • A contém exatamente o elemento 0.
  • C contém exatamente os dois elementos \{0\} e 1.
  • A pergunta é se a interseção entre A e C é o conjunto vazio.

Passo 2

Primeiro, alguns conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • A interseção de dois conjuntos X e Y é
X\cap Y=\{z \mid z\in X \text{ e } z\in Y\}.
Ou seja, um elemento pertence a X\cap Y exatamente quando pertence simultaneamente a X e a Y.
  • O conjunto vazio \varnothing é o conjunto que não tem elementos.
  • É crucial distinguir “ser elemento” de “ser subconjunto”. A notação x\in X significa que x é um elemento de X. A notação S\subseteq X significa que todo elemento de S também pertence a X. Esses conceitos são diferentes.
  • Um exemplo prático para fixar: 1 e \{1\} são objetos diferentes — 1 é (aqui) um número; \{1\} é um conjunto cujo único elemento é o número 1. Eles não são iguais.

Passo 3

Agora, vamos olhar explicitamente para os elementos de A e de C:
A=\{0\}\quad\text{(elemento de \(A\): \(0\))}
C=\{\{0\},\,1\}\quad\text{(elementos de \(C\): \(\{0\}\) e \(1\))}
Para que algum elemento esteja em A\cap C ele precisa ser simultaneamente elemento de A e de C. O único candidato vindo de A é 0 (pois A só tem 0). Então só precisamos verificar se 0\in C.

Passo 4

Verificação direta:
  • 0\notin C, porque os elementos de C são \{0\} e 1; o símbolo 0 não aparece entre eles.
  • Também podemos checar o outro caminho: \{0\}\notin A, porque A contém apenas 0, não o conjunto \{0\}.
    Como não existe elemento que pertença aos dois conjuntos, conclusão: não há elementos comuns entre A e C.

Passo 5

Portanto, A\cap C não contém nenhum elemento, ou seja,
A\cap C=\varnothing.
Dica para a prova: sempre verifique se o que aparece em cada conjunto é um “número” (ou outro elemento) ou é um “conjunto” que contém esse número — confundir 0 com \{0\} é o erro clássico aqui. Força aí, você está indo bem!

Resposta

Verdadeiro

Exercícios relacionados