Exercício 5. Dados A=\{-2,-1,1\} e B=\{x \in \mathbb{Z}: x \leq-4 \vee x>0\} e considerando \mathbb{Z} como universo de discurso, determine os conjuntos abaixo
B \backslash A

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos A e B e pede para determinar B\setminus A. Informações fornecidas que vou usar:
  • A=\{-2,-1,1\}.
  • B=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\leq -4\\ \text{or}\\ x>0\}. Aqui x é um inteiro, porque o universo de discurso é \mathbb{Z}.
  • A operação pedida é a diferença de conjuntos B\setminus A.

Passo 2

Definição e entendimento da operação necessária (aqui eu explico como pensar nisso na prova).
  • Por definição, a diferença B\setminus A é o conjunto de todos os elementos que pertencem a B e ao mesmo tempo não pertencem a A.
  • Em símbolos: B\setminus A=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\in B\\ \text{e}\\ x\notin A\}.
    Isso significa que eu preciso: (i) saber quais elementos estão em B e (ii) retirar qualquer um desses que também esteja em A.

Passo 3

Descrever explicitamente o conjunto B para trabalhar com ele passo a passo.
  • Pela definição do enunciado, B contém todos os inteiros menores ou iguais a -4 e também todos os inteiros estritamente positivos.
  • Em notação: B=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\leq -4\}\\ \cup\\ \{x\in\mathbb{Z}\mid x>0\}.
  • Exemplos de elementos de B: \ldots,-6,-5,-4 (parte dos \leq-4) e 1,2,3,\ldots (parte dos >0).

Passo 4

Verificar quais elementos de A pertencem a B (porque só estes serão removidos).
  • Verifico -2\in A. Para -2 checo as condições de B: -2\leq -4? Não. -2>0? Não. Logo -2\notin B.
  • Verifico -1\in A. Para -1 checo: -1\leq -4? Não. -1>0? Não. Logo -1\notin B.
  • Verifico 1\in A. Para 1 checo: 1\leq -4? Não. 1>0? Sim. Logo 1\in B.
  • Conclusão: entre os elementos de A, apenas 1 também está em B. Em símbolos, A\cap B=\{1\}.

Passo 5

Construir B\setminus A usando a verificação anterior.
  • Como A\cap B=\{1\}, ao tirar A de B eu removo exatamente o elemento 1 da parte de B que contém os inteiros positivos.
  • Portanto B\setminus A = B\setminus\{1\}.

Passo 6

Escrever B\setminus A em forma útil e mostrar alguns elementos para intuição.
  • Em forma de gerador de conjuntos: B\setminus A=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\leq -4\\ \text{or}\\ (x>0\\ \text{and}\\ x\neq 1)\}.
  • Alternativamente, como união: B\setminus A=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\leq -4\}\\ \cup\\ \{x\in\mathbb{Z}\mid x>0,\\ x\neq 1\}.
  • Exemplificando os primeiros termos (mostrando que é infinito em duas direções): \{ \ldots,-6,-5,-4,2,3,4,\ldots\} (observe que 1 foi removido).

Resposta

\{x\in\mathbb{Z}\mid x\leq -4\\ \text{or}\\ (x>0\\ \text{and}\\ x\neq 1)\}

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