Exercício 2. Dados os conjuntos A=\{0\}, B=\{0,1\}, C=\{\{0\}, 1\} e D=\{\{0\},\{1\}\}, decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
1 \subset C

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{0\},\quad B=\{0,1\},\quad C=\{\{0\},1\},\quad D=\{\{0\},\{1\}\}
e pede para decidir se a afirmação \;1 \subset C\; é verdadeira ou falsa. Informação relevante extraída do enunciado: os elementos de C são exatamente \{0\} e 1.

Passo 2

Vamos fixar bem o significado dos símbolos (aqui explico como usar isso na prova):
  • A notação \;X\subset Y\; significa "todo elemento de X é elemento de Y". Formalmente,
X\subset Y \iff \forall x\,(x\in X \Rightarrow x\in Y).
  • A notação \;x\in Y\; significa "o objeto x é um elemento (membro) do conjunto Y".
Repare: \subset exige que o lado esquerdo seja um conjunto (porque falamos "todo elemento de X"). Já \in pode ser usada quando o lado esquerdo for qualquer objeto (número, conjunto, etc.). Um erro comum na prova é confundir “é elemento de” com “é subconjunto de”.
Exemplo curto para fixar:
  • Se E=\{1,2\}, então \{1\}\subset E é verdadeiro porque o único elemento de \{1\} (que é 1) pertence a E.
  • Mas 1\in E também é verdadeiro. Note a diferença: \{1\} é um conjunto cujo elemento é 1; 1 não é um conjunto (no contexto usual), é um elemento.

Passo 3

Agora aplique ao caso: a expressão dada é \;1\subset C.
Primeiro observe o que são os elementos de C: conforme extraímos no Passo 1, C tem como elementos \{0\} e 1. Ou seja, 1\in C.
Mas para interpretar \;1\subset C\; precisamos que o objeto à esquerda seja um conjunto (para podermos dizer "todo elemento de 1 pertence a C"). No enunciado, 1 é o número 1, não um conjunto (não nos foi dada nenhuma identificação que trate 1 como um conjunto). Portanto a afirmação \;1\subset C\; é, no contexto usual, falsa/sem sentido como relação de subconjunto porque o operando esquerdo não é um conjunto.

Passo 4

Complemento importante (para não cair em pegadinha na prova): se a intenção fosse falar do conjunto unitário \{1\}, então a afirmação correta seria \;\{1\}\subset C\;. Esse último é verdadeiro, porque o único elemento de \{1\} é 1 e já vimos que 1\in C. Mas isso é diferente de \;1\subset C.

Resposta

Falso

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