Exercício 4 Dados os conjuntos
A=1,2,3,4 B=2,4,6,8 C=3,4,5,6
determine:
  • A cap B e A cup B
  • B cap C e B cup C
  • (A cup B) cup C e A cup(B cup C)
  • A cap C e A cup C
  • (A cap B) cap C e A cap(B cap C)
  • (A cap B) cup C e A cap(B cup C)

Passo 1

O enunciado dá três conjuntos finitos
A = 1,2,3,4, B = 2,4,6,8, C = 3,4,5,6,
e pede para calcular uniões e interseções simples e também verificar propriedades de associatividade e distributividade. Vamos usar que
– a interseção Xcap Y é o conjunto de elementos em comum a X e Y,
– a união Xcup Y é o conjunto de elementos que estão em X, em Y ou em ambos.

Passo 2

Calcular Acap B e Acup B:
Acap B contém só os elementos presentes em A e em B:
Acap B = 2,4
Acup B reúne todos os elementos de A ou de B, sem repetir:
Acup B = 1,2,3,4,6,8

Passo 3

Calcular Bcap C e Bcup C:
Bcap C são os elementos comuns a B e C:
Bcap C = 4,6
Bcup C é a junção de todos os elementos de B e de C:
Bcup C = 2,3,4,5,6,8

Passo 4

Verificar a associatividade da união, calculando (Acup B)cup C e Acup(Bcup C):
– Primeiro Acup B=1,2,3,4,6,8. Unindo com C:
(Acup B)cup C = 1,2,3,4,6,8cup3,4,5,6 = 1,2,3,4,5,6,8
– Por outro lado, Bcup C=2,3,4,5,6,8. Unindo com A:
Acup(Bcup C) = 1,2,3,4cup2,3,4,5,6,8 = 1,2,3,4,5,6,8
Como esperado, (Acup B)cup C = Acup(Bcup C).

Passo 5

Calcular Acap C e Acup C:
– Elementos comuns a A e C:
Acap C = 3,4
– Todos os elementos de A ou de C:
Acup C = 1,2,3,4,5,6

Passo 6

Verificar a associatividade da interseção, calculando (Acap B)cap C e Acap(Bcap C):
Acap B = 2,4. Intersectando com C:
(Acap B)cap C = 2,4cap3,4,5,6 = 4
Bcap C = 4,6. Intersectando com A:
Acap(Bcap C) = 1,2,3,4cap4,6 = 4
Portanto (Acap B)cap C = Acap(Bcap C).

Passo 7

Calcular (Acap B)cup C e Acap(Bcup C) para ver que não são iguais:
Acap B = 2,4. Unindo com C:
(Acap B)cup C = 2,4cup3,4,5,6 = 2,3,4,5,6
Bcup C = 2,3,4,5,6,8. Intersectando com A:
Acap(Bcup C) = 1,2,3,4cap2,3,4,5,6,8 = 2,3,4
Como 2,3,4,5,6neq2,3,4, vemos que (Acap B)cup C neq Acap(Bcup C).

Resposta

Acap B = 2,4, Acup B = 1,2,3,4,6,8
Bcap C = 4,6, Bcup C = 2,3,4,5,6,8
(Acup B)cup C = 1,2,3,4,5,6,8, Acup(Bcup C) = 1,2,3,4,5,6,8
Acap C = 3,4, Acup C = 1,2,3,4,5,6
(Acap B)cap C = 4, Acap(Bcap C) = 4
(Acap B)cup C = 2,3,4,5,6, Acap(Bcup C) = 2,3,4

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