Seja
uma base para um espaço vetorial
. Prove que
é uma base para
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma base de um espaço vetorial
, ou seja, é um conjunto linearmente independente que gera
. Queremos mostrar que o conjunto
onde
também é base de
. Para isso, basta provar que
é linearmente independente e gera
.
Passo 2
Prova de linearidade independente. Suponha que existam escalares
tais que
Substituindo
obtemos
Reagrupando em termos de
, isto é,
Como
é independente, cada coeficiente deve ser zero:
Logo, todos
ai=0 e
u1,dots,un é linearmente independente.
Passo 3
Prova de geração de
V . Como
v1,dots,vn gera
V , basta expressar cada
vi em função dos
uj . Note que
e para
i>=2 temos
Portanto cada
vi pertence ao espaço gerado por
u1,dots,un . Como os
vi geram
V , segue que
u1,dots,un também gera
V .
Passo 4
Conclusão. Acabamos de mostrar que
C=u1,dots,un é linearmente independente e gera
V . Logo
C é uma base de
V .
Resposta
O conjunto
é base de
V .