Seja B=v1, v2, ldots, vn uma base para um espaço vetorial V. Prove que
v1, v1+v2, v1+v2+v3, ldots, v1+v2+v3+ldots+vn,
é uma base para V.

Passo 1

O enunciado diz que B=v1,v2,dots,vn é uma base de um espaço vetorial V, ou seja, é um conjunto linearmente independente que gera V. Queremos mostrar que o conjunto
C=u1,u2,dots,un,
onde
u1=v1, u2=v1+v2, u3=v1+v2+v3,;dots,; un=v1+v2+dots+vn,
também é base de V. Para isso, basta provar que C é linearmente independente e gera V.

Passo 2

Prova de linearidade independente. Suponha que existam escalares a1,dots,an tais que
a1u1+a2u2+cdots+anun=0
Substituindo ui=sumj=1^ivj obtemos
a1v1 + a2(v1+v2) +cdots+ an(v1+cdots+vn) =0
Reagrupando em termos de v1,v2,dots,vn, isto é,
l(a1+a2+cdots+anr)v1 + l(a2+a3+cdots+anr)v2 +cdots+ l(anr)vn =0
Como v1,dots,vn é independente, cada coeficiente deve ser zero:
an&=0, an-1+an&=0implies an-1=0, an-2+an-1+an&=0implies an-2=0, &;;vdots a1+a2+cdots+an&=0implies a1=0
Logo, todos ai=0 e u1,dots,un é linearmente independente.

Passo 3

Prova de geração de V. Como v1,dots,vn gera V, basta expressar cada vi em função dos uj. Note que
v1=u1,
e para i>=2 temos
vi = (v1+cdots+vi) - (v1+cdots+vi-1) = ui-ui-1
Portanto cada vi pertence ao espaço gerado por u1,dots,un. Como os vi geram V, segue que u1,dots,un também gera V.

Passo 4

Conclusão. Acabamos de mostrar que C=u1,dots,un é linearmente independente e gera V. Logo C é uma base de V.

Resposta

O conjunto
v1,,v1+v2,,v1+v2+v3,,dots,,v1+v2+cdots+vn
é base de V.

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