Exercício 1. Dados os vetores \vec{u}=(1,-2,3) e \vec{v}=(2,0,-1), calcule:
(a) \vec{u}+2 \vec{v}
(b) (\vec{u}+2 \vec{v}) \cdot(2 \vec{u}+3 \vec{v})
(c) \vec{u} \times \vec{v}
(d) (3 \vec{u}+2 \vec{v}) \cdot(\vec{u} \times \vec{v})

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
\vec{u}=(1,-2,3) e \vec{v}=(2,0,-1).
Pede-se calcular as quatro quantidades:
(a) \vec{u}+2\vec{v},
(b) (\vec{u}+2\vec{v})\cdot(2\vec{u}+3\vec{v}),
(c) \vec{u}\times\vec{v},
(d) (3\vec{u}+2\vec{v})\cdot(\vec{u}\times\vec{v}).

Passo 2

(a) Primeiro lembrando operações básicas: multiplicar um vetor por escalar significa multiplicar cada componente por esse escalar; somar vetores significa somar componente a componente.
Calcular 2\vec{v}:
2\vec{v}=2\cdot(2,0,-1)=(4,0,-2).
Agora somar com \vec{u}:
\vec{u}+2\vec{v}=(1,-2,3)+(4,0,-2)=(1+4,\,-2+0,\;3+(-2)).
Fazendo as somas componente a componente:
\vec{u}+2\vec{v}=(5,\,-2,\;1).

Passo 3

(b) Para o produto escalar (dot product) de dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) usa-se a fórmula
(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Já temos \vec{u}+2\vec{v}=(5,-2,1) (Passo 2). Vamos calcular 2\vec{u}+3\vec{v} primeiro:
2\vec{u}=2\cdot(1,-2,3)=(2,-4,6), \qquad 3\vec{v}=3\cdot(2,0,-1)=(6,0,-3).
Somando:
2\vec{u}+3\vec{v}=(2+6,\,-4+0,\;6+(-3))=(8,\,-4,\;3).
Agora o produto escalar:
(\vec{u}+2\vec{v})\cdot(2\vec{u}+3\vec{v})=(5,-2,1)\cdot(8,-4,3).
Calculando termo a termo:
5\cdot 8 + (-2)\cdot(-4) + 1\cdot 3 = 40 + 8 + 3 = 51.

Passo 4

(c) O produto vetorial (cross product) \vec{u}\times\vec{v} de \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) tem fórmula componente a componente:
\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Aplicando a \vec{u}=(1,-2,3) e \vec{v}=(2,0,-1):
Calcule cada componente separadamente:
Primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = (-2)\cdot(-1) - 3\cdot 0 = 2 - 0 = 2.
Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = 3\cdot 2 - 1\cdot(-1) = 6 - (-1) = 7.
Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = 1\cdot 0 - (-2)\cdot 2 = 0 - (-4) = 4.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(2,\,7,\,4).

Passo 5

(d) A expressão (3\vec{u}+2\vec{v})\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) é um produto escalar entre 3\vec{u}+2\vec{v} e o vetor \vec{u}\times\vec{v} calculado no Passo 4. Primeiro calcule 3\vec{u}+2\vec{v}:
3\vec{u}=3\cdot(1,-2,3)=(3,-6,9), \qquad 2\vec{v}=2\cdot(2,0,-1)=(4,0,-2).
Somando:
3\vec{u}+2\vec{v}=(3+4,\,-6+0,\;9+(-2))=(7,\,-6,\;7).
Agora faça o produto escalar com \vec{u}\times\vec{v}=(2,7,4):
(3\vec{u}+2\vec{v})\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=(7,-6,7)\cdot(2,7,4).
Calculando termo a termo:
7\cdot 2 + (-6)\cdot 7 + 7\cdot 4 = 14 - 42 + 28 = 0.
Observação (útil para a prova): esse resultado zero é o mesmo que o produto misto (scalar triple product) ser nulo, o que indica que 3\vec{u}+2\vec{v} está no mesmo plano gerado por \vec{u} e \vec{v} (ou é ortogonal ao vetor normal \vec{u}\times\vec{v}).

Resposta

(a) \vec{u}+2\vec{v}=(5,-2,1)
(b) (\vec{u}+2\vec{v})\cdot(2\vec{u}+3\vec{v})=51
(c) \vec{u}\times\vec{v}=(2,7,4)
(d) (3\vec{u}+2\vec{v})\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0

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