Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{N C}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{NC} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Ou seja, encontrar escalares x,y tais que
\overrightarrow{NC}=x\,\overrightarrow{AF}+y\,\overrightarrow{AB}.
Informações dadas (peguei estes dados da imagem):
  • Há uma grade de paralelogramos com três fileiras horizontais e cinco colunas verticais.
  • Na fileira de baixo, os pontos sucessivos são A, F, H, J, D.
  • Na fileira do meio, os pontos sucessivos são K, L, M, N, P.
  • Na fileira de cima, os pontos sucessivos são B, E, G, I, C.
  • Cada deslocamento horizontal consecutivo (por exemplo A\to F, F\to H) é um mesmo vetor, que identificaremos com \overrightarrow{AF}.
  • Na coluna mais à esquerda há os pontos A (baixo), K (meio) e B (cima) igualmente espaçados; portanto \overrightarrow{AK} é um “passo vertical” e \overrightarrow{AB} equivale a dois desses passos verticais.

Passo 2

Escolher um sistema de vetores conveniente e entender a malha:
  • Defino \displaystyle \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AF} (um passo horizontal para a direita na malha).
  • Defino \displaystyle \overrightarrow{w}=\overrightarrow{AK} (um passo vertical para cima, da fileira de baixo para a do meio).
  • Com essas escolhas, qualquer ponto da malha tem a forma A+i\overrightarrow{u}+j\overrightarrow{w} com i,j\in\mathbb{Z}.
  • Observação importante (tirada da imagem): \displaystyle \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}= \overrightarrow{w}+\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{w}. Ou seja,
\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{w}\quad\Rightarrow\quad \overrightarrow{w}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}.

Passo 3

Atribuir coordenadas inteiras (índices da malha) aos pontos relevantes (peguei a posição relativa dos pontos na imagem):
  • Na notação A+(i,j) para A+i\overrightarrow{u}+j\overrightarrow{w}:
    • A=(0,0).
    • F=(1,0), H=(2,0), J=(3,0), D=(4,0).
    • K=(0,1), L=(1,1), M=(2,1), N=(3,1), P=(4,1).
    • B=(0,2), E=(1,2), G=(2,2), I=(3,2), C=(4,2).
  • Assim, as posições em termos de \overrightarrow{u},\overrightarrow{w} são:
    • \overrightarrow{N}=A+3\overrightarrow{u}+1\overrightarrow{w}.
    • \overrightarrow{C}=A+4\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{w}.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{NC} em função de \overrightarrow{u} e \overrightarrow{w}:
\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{N}=(4-3)\,\overrightarrow{u}+(2-1)\,\overrightarrow{w} =1\cdot\overrightarrow{u}+1\cdot\overrightarrow{w}.
Substituindo \overrightarrow{w}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} e lembrando que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AF}, obtemos
\overrightarrow{NC}=1\cdot\overrightarrow{AF}+\tfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}.

Passo 5

Interpretando: os coeficientes obtidos são justamente as coordenadas do vetor \overrightarrow{NC} na base \mathcal{B}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Ou seja, o primeiro componente corresponde ao múltiplo de \overrightarrow{AF} e o segundo ao múltiplo de \overrightarrow{AB}.

Resposta

\left(1,\tfrac{1}{2}\right)

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