Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{N C}
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{NC} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Ou seja, encontrar escalares x,y tais que
Há uma grade de paralelogramos com três fileiras horizontais e cinco colunas verticais.
Na fileira de baixo, os pontos sucessivos são A, F, H, J, D.
Na fileira do meio, os pontos sucessivos são K, L, M, N, P.
Na fileira de cima, os pontos sucessivos são B, E, G, I, C.
Cada deslocamento horizontal consecutivo (por exemplo A\to F, F\to H) é um mesmo vetor, que identificaremos com \overrightarrow{AF}.
Na coluna mais à esquerda há os pontos A (baixo), K (meio) e B (cima) igualmente espaçados; portanto \overrightarrow{AK} é um “passo vertical” e \overrightarrow{AB} equivale a dois desses passos verticais.
Passo 2
Escolher um sistema de vetores conveniente e entender a malha:
Defino \displaystyle \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AF} (um passo horizontal para a direita na malha).
Defino \displaystyle \overrightarrow{w}=\overrightarrow{AK} (um passo vertical para cima, da fileira de baixo para a do meio).
Com essas escolhas, qualquer ponto da malha tem a forma A+i\overrightarrow{u}+j\overrightarrow{w} com i,j\in\mathbb{Z}.
Observação importante (tirada da imagem): \displaystyle \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}= \overrightarrow{w}+\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{w}. Ou seja,
Interpretando: os coeficientes obtidos são justamente as coordenadas do vetor \overrightarrow{NC} na base \mathcal{B}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Ou seja, o primeiro componente corresponde ao múltiplo de \overrightarrow{AF} e o segundo ao múltiplo de \overrightarrow{AB}.