Exercício 4. Dados os vetores vec{u}=\langle 2,4\rangle, \vec{v}=\langle-5,2\rangle e vec{w}=\langle 1,3\rangle, só existe uma forma de colocar parênteses nas expressões abaixo de maneira a obter um cálculo que faça sentido. Insira os parênteses e calcule:
\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para inserir parênteses na expressão de modo que o cálculo faça sentido, e então calcular o resultado. Os dados são (peguei estes valores do enunciado):
  • \vec{u}=\langle 2,4\rangle
  • \vec{v}=\langle -5,2\rangle
  • \vec{w}=\langle 1,3\rangle
A expressão dada é \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{w}. A tarefa é:
  1. Colocar parênteses nessa expressão de forma que o resultado seja uma operação válida.
  2. Calcular o valor resultante.

Passo 2

Vamos pensar nas maneiras possíveis de colocar parênteses que mudem a ordem das operações. As opções não-triviais são essencialmente duas (as outras são equivalentes a essas):
  • (\vec{u}\cdot\vec{v})+\vec{w}
  • \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})
Agora precisamos verificar qual delas é uma operação bem definida (isto é, que “faz sentido” em termos de tipos: escalares vs vetores).

Passo 3

Relembrando as regras básicas (mini-aula rápida e didática):
  • Soma de vetores: se \vec{a}=\langle a_1,a_2\rangle e \vec{b}=\langle b_1,b_2\rangle, então
\vec{a}+\vec{b}=\langle a_1+b_1,\;a_2+b_2\rangle.
Aqui o resultado é um vetor.
  • Produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^2: se \vec{a}=\langle a_1,a_2\rangle e \vec{b}=\langle b_1,b_2\rangle, então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2,
que é um número (um escalar).
Importante: não se pode somar um escalar com um vetor; soma só entre vetores. Portanto, a opção (\vec{u}\cdot\vec{v})+\vec{w} seria “escalaresoma vetor”, o que não é definido. Já \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) é válido porque \vec{v}+\vec{w} é um vetor e o produto \vec{u}\cdot(\text{vetor}) dá um escalar. Assim a única colocação de parênteses que faz sentido é
\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}).

Passo 4

Primeiro calculemos \vec{v}+\vec{w} usando os componentes dados (peguei os componentes de \vec{v} e \vec{w} do enunciado):
\vec{v}+\vec{w}=\langle -5,2\rangle+\langle 1,3\rangle=\langle -5+1,\;2+3\rangle=\langle -4,\;5\rangle.

Passo 5

Agora calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}). Usamos \vec{u}=\langle 2,4\rangle e \vec{v}+\vec{w}=\langle -4,5\rangle (esses valores vieram do enunciado e do passo anterior):
\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \langle 2,4\rangle\cdot\langle -4,5\rangle = 2\cdot(-4)+4\cdot 5 = -8+20=12.

Resposta

12

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