Exercício 3. Decida se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Utilize as operações elementares sobre linhas e colunas para escalonar as que não estiverem nessa forma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 3 juntos! A gente precisa decidir se a matriz dada está na forma escalonada. Para isso, vamos usar operações elementares sobre linhas e colunas. A forma escalonada facilita resolver sistemas lineares e entender propriedades das matrizes. Então, vamos verificar se a matriz A = 3 & 6 1 & -2 já está nessa forma ou se precisa ser ajustada.
Passo 2
Primeiro, o que é uma forma escalonada? Uma matriz está na forma escalonada se:
O primeiro número diferente de zero (chamado de pivo) de cada linha está à direita do pivo da linha acima.
Todos os elementos abaixo dos pivôs são zeros.
Vamos verificar a matriz A :
A = 3 & 6 1 & -2
Vemos que o primeiro pivo na primeira linha é 3 e na segunda linha é 1, que está à esquerda do pivo acima. Isso já quebra a regra da forma escalonada. Então, precisamos ajustar a matriz.
Passo 3
Vamos usar operações elementares sobre linhas para escalonar a matriz. Primeiro, podemos simplificar a primeira linha dividindo todos os elementos por 3, para tornar o pivo igual a 1. Isso facilita os cálculos.
R1 = 13 R1
Aplicando essa operação:
1 & 2 1 & -2
Passo 4
Agora, queremos que abaixo do pivo da primeira linha (que é 1) tenha um zero. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha.
R2 = R2 - R1
Aplicando:
R2 = 1 & -2 - 1 & 2 = 0 & -4
Então, a matriz fica:
1 & 2 0 & -4
Resposta
Após realizar as operações elementares, a matriz na forma escalonada é: