Exercício 3. Decida se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Utilize as operações elementares sobre linhas e colunas para escalonar as que não estiverem nessa forma.
Passo 1
O enunciado dá a matriz \r
;A=0 & 21 & 4tfrac12 & 3 \r
e pede para decidir se está em forma escalonada (row echelon) e, se não, aplicar operações elementares de linhas e colunas para escaloná-la. Em forma escalonada cada linha não-nula deve ter um pivô (primeiro elemento não-nulo) à direita do pivô da linha acima, e as linhas zero ficam embaixo.
Passo 2
Verificamos diretamente os pivôs de cada linha de A: \r
– Linha 1: (0,2) tem pivô na coluna 2. \r
– Linha 2: (1,4) tem pivô na coluna 1. \r
Como o pivô da linha 2 está à esquerda do pivô da linha 1, não está em forma escalonada. Vamos usar operações de linha para consertar.
Passo 3
Primeiro, trocamos linha 1 com linha 2 para pôr o pivô maior (em coluna 1) em cima: \r
1 & 40 & 2tfrac12 & 3
(R1 rightarrowR2)
Passo 4
Zeramos abaixo do pivô da coluna 1 usando R3 := R3 -tfrac12R1: \r
1 & 4 0 & 2 0 & 1
Passo 5
Agora temos duas linhas com pivô na mesma coluna 2 (linhas 2 e 3). Para ficar em forma escalonada, apenas uma delas deve ter pivô e a outra virar linha zero. Eliminamos o pivô duplicado em R2 definindo R2 := R2 - 2cdotR3: \r
1 & 4 0 & 0 0 & 1
Passo 6
Por fim, colocamos a linha zero embaixo trocando R2 \leftrightarrow R3:
1 & 4 0 & 1 0 & 0
Agora cada pivô desce e anda para a direita.
Resposta
A matriz não estava em forma escalonada. Uma forma escalonada de A é \r