Exercício 3. Decida se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Utilize as operações elementares sobre linhas e colunas para escalonar as que não estiverem nessa forma.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 3 & 5 & 7 7 & 5 & 3 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
já está em forma escalonada de linha. Caso não esteja, devemos usar operações elementares de linha (e coluna, se desejado) para colocá-la nessa forma. O conteúdo necessário é a definição de forma escalonada e o uso de operações de linha: troca de linhas, multiplicação de linha por escalar não nulo e adição de múltiplos de uma linha em outra.
Passo 2
Para estar em forma escalonada, cada linha não-nula deve ter seu primeiro elemento não-nulo (pivô) à direita do pivô da linha anterior, e quaisquer linhas nulas devem ficar abaixo. Em A, a primeira linha tem pivô em coluna 1 e a segunda também — isso viola a condição de deslocamento dos pivôs. Logo, A não está em forma escalonada.
Passo 3
Vamos usar só operações de linha. Primeiro, trocamos R1 com R4 para obter um pivô igual a 1 logo acima:
1 & 0 & 0 7 & 5 & 3 0 & 1 & 0 3 & 5 & 7
Passo 4
Eliminamos as entradas abaixo do pivô da coluna 1:
R2 R2 - 7,R1, R4 R4 - 3,R1
Fica
1 & 0 & 0 0 & 5 & 3 0 & 1 & 0 0 & 5 & 7
Passo 5
Para ter pivô 1 também na segunda coluna sem frações, trocamos R2 com R3:
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 5 & 3 0 & 5 & 7
Passo 6
Eliminamos abaixo do pivô da coluna 2:
R3 R3 - 5,R2, R4 R4 - 5,R2
Obtém-se
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 0 & 0 & 7
Passo 7
Por fim, eliminamos abaixo do pivô da coluna 3:
R4 R4 - 73,R3
e chegamos a
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Esta matriz está em forma escalonada: cada pivô desloca-se para a direita à medida que descemos, e a última linha é nula.
Resposta
A matriz A não estava em forma escalonada inicialmente. Após as operações de linha acima, chegamos à forma escalonada