Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação
é verdadeira ou falsa, justificando brevemente.
Informação dada: apenas a afirmação isolada . Não há definição prévia de
no enunciado.
Informação dada: apenas a afirmação isolada
Passo 2
Primeiro vamos entender que a notação
tem duas interpretações comuns e explícitas que aparecem em livros e aulas. Vou escrever as duas formas e o que cada uma significa:
Aqui usei
para a convenção que inclui o zero e
para a que começa em um. O enunciado não especificou qual convenção adotar, por isso já aparece uma fonte de ambiguidade.
Passo 3
Agora vou explicar por que muitos autores incluem
em
— ou seja, motivos para aceitar
.
- Em teoria dos conjuntos e em algumas formulações dos axiomas de Peano, é natural tomar
como o primeiro número natural: ajuda a definir recursões e indução com base em um elemento inicial. Por exemplo, a definição recursiva de fatorial fica mais elegante se você aceitar (e aí precisa de no universo dos naturais). - Em álgebra é comum querer que
seja um monoide com elemento neutro . Fazer isso facilita enunciar propriedades sem casos especiais. - Em combinatória e contagem, o número de funções de um conjunto vazio para outro costuma levar a contar com
como natural (por exemplo, número de elementos de um conjunto vazio é , e cardinalidades são naturais incluindo zero).
Exemplo concreto para ver a utilidade: a fórmula
é válida para
. Se você só aceitar
, precisa estender definitions para incluir
em várias fórmulas combinatórias — dá certo, mas exige mais comentários.
Passo 4
Agora os motivos para excluir
de
— ou seja, adotar
.
- Historicamente e em muitos cursos elementares e de teoria dos números, “números naturais” significa “inteiros positivos”, porque muitas propriedades clássicas (como fatoração em primos, noção de divisor) são enunciadas naturalmente sem precisar tratar o zero.
- Em algumas demonstrações é conveniente que todo natural seja pelo menos
, evitando casos degenerados com . - Em contextos aplicados (por exemplo, contagem ordinal em certas linguagens), às vezes faz mais sentido começar em
.
Exemplo: quando alguém diz “o menor número natural divisor de
é …”, usar
evita a necessidade de excluir
por ser divisor trivialmente problemático.
Passo 5
Conclusão lógica e como responder na prova: a afirmativa isolada “
” não é uma verdade universal independente de convenção — ela depende da definição adotada para
. Portanto, a resposta correta na maioria dos exercícios e provas é explicar essa dependência e dizer qual convenção você está usando.
Uma resposta curta e correta costuma ser: “Depende da convenção; se
então a afirmação é verdadeira; se
então é falsa.” Dica amiga: quando estiver na prova, se o enunciado não especificou, escreva essa explicação e declare qual convenção você escolhe para evitar perder pontos.
Resposta
Depende da convenção: verdadeira para
, falsa para
.