Exercício 4. (i) Defina ponto de inflexão. O que concavidade tem a ver com a derivada segunda de f ? Explique.
(ii) Em cada um dos itens a),b),…,e) do Exercício 3(v), determine os pontos de inflexão e analise a concavidade da função f.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1. (i) Definir o que é ponto de inflexão e explicar como a concavidade de f está ligada ao sinal de f''.
2. (ii) Para cada função dos itens a), b), …, e) do Exercício 3(v), encontrar os pontos de inflexão e analisar a concavidade de f.
Para a parte (ii) precisamos conhecer explicitamente essas funções; sem elas não dá para prosseguir.

Passo 2

Um ponto de inflexão é um ponto x_0 no domínio de f em que a concavidade da curva muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa. Em termos da derivada segunda:
– Se f''(x)>0 num intervalo, a curva é côncava para cima ali (parece um “V” deitado).
– Se f''(x)<0 num intervalo, a curva é côncava para baixo ali (parece um “ \cap”).
Um ponto de inflexão em x_0 ocorre exatamente quando f'' muda de sinal ao atravessar x_0. Em geral:
1. Verificamos onde f''(x)=0 ou onde f'' não está definida.
2. Checamos à esquerda e à direita de cada candidato se o sinal de f'' troca de positivo para negativo ou vice-versa.
3. Se trocar, x_0 é ponto de inflexão; caso contrário, não é.

Passo 3

Para fazer o que a parte (ii) pede — i. e., determinar pontos de inflexão e concavidade para cada item a), b), …, e) do Exercício 3(v) — precisaríamos das fórmulas dessas funções. Como o enunciado do Exercício 3(v) não foi fornecido, não há como aplicar o procedimento acima aos casos concretos.

Resposta

(i) Um ponto de inflexão é um ponto x_0 em que a segunda derivada f'' muda de sinal, de modo que a curva passa de côncava para cima ( f''>0) para côncava para baixo ( f''<0) ou vice-versa.
(ii) Não é possível determinar os pontos de inflexão nem analisar a concavidade sem conhecer explicitamente as funções dos itens a) a e) do Exercício 3(v).

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