Exercício 4. (i) Defina ponto de inflexão. O que concavidade tem a ver com a derivada segunda de
? Explique.
(ii) Em cada um dos itens a),b),…,e) do Exercício 3(v), determine os pontos de inflexão e analise a concavidade da função
.
(ii) Em cada um dos itens a),b),…,e) do Exercício 3(v), determine os pontos de inflexão e analise a concavidade da função
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
. (i) Definir o que é ponto de inflexão e explicar como a concavidade de
está ligada ao sinal de
.
. (ii) Para cada função dos itens a), b), …, e) do Exercício
(v), encontrar os pontos de inflexão e analisar a concavidade de
.
Para a parte (ii) precisamos conhecer explicitamente essas funções; sem elas não dá para prosseguir.
Passo 2
Um ponto de inflexão é um ponto
no domínio de
em que a concavidade da curva muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa. Em termos da derivada segunda:
– Se num intervalo, a curva é côncava para cima ali (parece um “V” deitado).
– Se num intervalo, a curva é côncava para baixo ali (parece um “
”).
Um ponto de inflexão em ocorre exatamente quando
muda de sinal ao atravessar
. Em geral:
. Verificamos onde
ou onde
não está definida.
. Checamos à esquerda e à direita de cada candidato se o sinal de
troca de positivo para negativo ou vice-versa.
. Se trocar,
é ponto de inflexão; caso contrário, não é.
– Se
– Se
Um ponto de inflexão em
Passo 3
Para fazer o que a parte (ii) pede — i. e., determinar pontos de inflexão e concavidade para cada item a), b), …, e) do Exercício
(v) — precisaríamos das fórmulas dessas funções. Como o enunciado do Exercício
(v) não foi fornecido, não há como aplicar o procedimento acima aos casos concretos.
Resposta
(i) Um ponto de inflexão é um ponto
em que a segunda derivada
muda de sinal, de modo que a curva passa de côncava para cima (
) para côncava para baixo (
) ou vice-versa.
(ii) Não é possível determinar os pontos de inflexão nem analisar a concavidade sem conhecer explicitamente as funções dos itens a) a e) do Exercício (v).
(ii) Não é possível determinar os pontos de inflexão nem analisar a concavidade sem conhecer explicitamente as funções dos itens a) a e) do Exercício