(a) Mostre que para todo a, b>0 temos que \ln (a b)=\ln (a)+\ln (b). Sugestão: use o fato que se f^{\prime}(x)=0 num intervalo, então f éconstante nesse intervalo.
(b) Pode existir uma função diferenciável, não constante, tal que f^{\prime}(x)=0 para todo x no seu domínio?
(c) Mostre que a função f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c, onde a, b, c \in R são constantes fixadas, não tem máximo ou mínimo se, e somente se, a^{2} \leq 3 b.
(d) Determine as constantes a, b \in R de tal modo que a função do item (c) acima tenha como pontos críticos x=-2 e x=3. Neste caso, em qual deles f terá um máximo?
Passo 1
O exercício aborda quatro itens distintos, todos usando derivadas e propriedades de função constante ou de extremum:
(a) provar a propriedade \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) usando que derivada zero implica função constante;
(b) discutir existência de função diferenciável não constante com f'(x)=0 em todo o domínio;
(c) para a cúbica f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c, achar condição para não haver máximo nem mínimo locais;
(d) escolher a,b de modo que os pontos críticos sejam x=-2 e x=3, e identificar onde há máximo.
Passo 2
(a) Fixe b>0 e defina, para a>0,
g(a)=\ln(a b)-\ln(a)-\ln(b).
Então
g'(a)=\frac{1}{a}-\frac{1}{a}-0=0,
logo g é constante em (0,\infty). Como
g(1)=\ln(1\cdot b)-\ln(1)-\ln(b)=\ln b-0-\ln b=0,
segue g(a)\equiv0, disto resultando
\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).
Passo 3
(b) Se o domínio de f\) for um intervalo, então \(f'(x)=0\) implica \(f\) constante nesse intervalo. Mas se o domínio for desconexo, podemos ter constantes diferentes em cada componente. Por exemplo, em
\[\text{domínio }=(-\infty,0)\cup(0,\infty),
Em cada componente f\] é constante, logo diferenciável e com \(f'(x)=0 em todo o domínio, mas f não é constante globalmente.
Passo 4
(c) Para f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c temos
f'(x)=3x^2+2ax+b.
Os pontos críticos são as raízes dessa quadrática. Para não haver nem máximo nem mínimo locais é necessário que ela não tenha duas raízes reais distintas, ou seja, seu discriminante satisfaça
\Delta=(2a)^2-4\cdot3\cdot b=4a^2-12b\le0
\Longleftrightarrow a^2\le3b.
Passo 5
(d) Queremos que
f'(x)=3x^2+2ax+b
tenha raízes em x=-2 e x=3. Logo
3x^2+2ax+b=3(x+2)(x-3)=3x^2-3x-18.
Identificando coeficientes,
2a=-3\implies a=-\tfrac{3}{2},\qquad b=-18.
Para saber onde está o máximo, calcule
f''(x)=6x+2a=6x-3.
Em x=-2 temos f''(-2)=6(-2)-3=-15<0, logo máximo em x=-2. Em x=3 dá f''(3)=18-3=15>0, mínimo em x=3.
Resposta
(a) \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).
(b) Sim, se o domínio for desconexo (ex.: f(x)=0 para x<0, f(x)=1 para x>0), então f'(x)=0 mas f não é constante global.
(c) Não há extremum local se, e somente se, a^2\le3b.
(d) a=-\tfrac{3}{2}, b=-18. Há máximo em x=-2.