Exercício 4

Demonstre que as seguintes matrizes não são diagonalizáveis:
A_{1}=\left[\begin{array}{cc} -4 & 2 \\\\ -2 & -4 \end{array}\right] \quad A_{2}=\left[\begin{array}{lll} 5 & 1 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 \\\\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes
A_{1} = \begin{pmatrix}-4 & 2\\[0.3em]-2 & -4\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A_{2} = \begin{pmatrix}5 & 1 & 0\\[0.3em]0 & 5 & 0\\[0.3em]0 & 0 & 5\end{pmatrix}
não são diagonalizáveis (no espaço real). O conteúdo é diagonalização por autovalores e autovetores: vamos calcular polinômios característicos, achar multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores e comparar.]

Passo 2

Para A_{1} calculamos o polinômio característico
\chi_{A_{1}}(\lambda) = \det\bigl(A_{1}-\lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}-4-\lambda & 2\\[0.3em]-2 & -4-\lambda\end{pmatrix} = (-4-\lambda)^{2}-2\cdot(-2) = \lambda^{2}+8\lambda+20.
O discriminante é
\Delta = 8^{2}-4\cdot1\cdot20 = 64-80 = -16 < 0,
logo \chi_{A_{1}} não tem raízes reais.]

Passo 3

Como não há autovalores reais, A_{1} não tem autovetores em \mathbb{R}^{2}. Não é possível formar uma base real de autovetores, logo A_{1} não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Passo 4

Para A_{2} o polinômio característico é
\chi_{A_{2}}(\lambda) = \det\bigl(A_{2}-\lambda I\bigr) = (5-\lambda)\,(5-\lambda)\,(5-\lambda) = (5-\lambda)^{3}.
O único autovalor é \lambda=5 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 5

Calculamos o espaço próprio de \lambda=5 resolvendo
(A_{2}-5I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[0.3em]0 & 0 & 0\\[0.3em]0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\;x_{2}=0,
e x_{1},x_{3} livres. Assim a dimensão do espaço próprio é 2, que é menor que a multiplicidade algébrica 3.]

Resposta

As duas matrizes não são diagonalizáveis, pois
– em A_{1} não há autovalores reais;
– em A_{2} a multiplicidade geométrica de \lambda=5 é 2<3.

Exercícios relacionados