Exercício 5
Sejam:
Encontre a projeção ortogonal de
em
calculando uma base de
.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado pelos vetores
e o vetor
Queremos \emph{projeção ortogonal} de
em
calculando primeiro uma base de
.
Passo 2
Para achar
, resolvemos
com
. Escrevendo as equações:
Tomamos parâmetros
e
. Da primeira vem
e da segunda
. Logo
Para evitar frações, escolhemos como base de
os vetores
Passo 3
Sabemos que a projeção
de
em
é da forma
e que
. Portanto
Isso gera um sistema de duas equações lineares em
e
.
Passo 4
Calculamos os produtos internos:
O sistema normal fica
Resolvendo, o determinante é
e obtemos
Passo 5
Logo a projeção em
é