Exercício 5

Sejam:
V=\left\langle\left(\begin{array}{c} -3 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\\\ -6 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right)\right\rangle \quad \underline{v}=\left(\begin{array}{c} 5 \\\\ -5 \\\\ -1 \\\\ 7 \end{array}\right)
Encontre a projeção ortogonal de \underline{v} em V calculando uma base de V^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço V\subset\mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
v_1=\begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ -6\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}
e o vetor
\underline{v}=\begin{pmatrix}5\\\ -5\\\ -1\\\ 7\end{pmatrix}.
Queremos \emph{projeção ortogonal} de \underline{v} em V calculando primeiro uma base de V^\perp.

Passo 2

Para achar V^\perp, resolvemos
v_1\cdot x=0,\quad v_2\cdot x=0
com x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T. Escrevendo as equações:
-3x_1 + x_3 + x_4 =0,
-6x_2 + x_3 + x_4 =0.
Tomamos parâmetros s=x_3 e t=x_4. Da primeira vem x_1=(s+t)/3 e da segunda x_2=(s+t)/6. Logo
x = \begin{pmatrix}(s+t)/3\\(s+t)/6\s\t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1/3\\\ 1/6\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1/3\\\ 1/6\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para evitar frações, escolhemos como base de V^\perp os vetores
u_1=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 6\\\ 0\end{pmatrix},\quad u_2=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 6\end{pmatrix}.)

Passo 3

Sabemos que a projeção p de \underline{v} em V é da forma
p=\alpha\,v_1+\beta\,v_2,
e que \underline{v}-p\in V^\perp. Portanto
(\underline{v}-\alpha v_1-\beta v_2)\cdot v_1=0, \quad (\underline{v}-\alpha v_1-\beta v_2)\cdot v_2=0.
Isso gera um sistema de duas equações lineares em \alpha e \beta.

Passo 4

Calculamos os produtos internos:
v_1\cdot v_1=11,\quad v_1\cdot v_2=2,\quad v_2\cdot v_2=38,
\underline{v}\cdot v_1=-9, \quad \underline{v}\cdot v_2=36.
O sistema normal fica
\begin{pmatrix}11 & 2\\[6pt]2 & 38\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[3pt]\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\[3pt]36\end{pmatrix}.
Resolvendo, o determinante é 414 e obtemos
\alpha=-1,\quad \beta=1.]

Passo 5

Logo a projeção em V é
p=-1\cdot v_1 +1\cdot v_2 =\begin{pmatrix}3\\\ -6\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

\mathrm{proj}_{V}(\underline{v}) =\begin{pmatrix}3\\\ -6\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados