Exercício 2
Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a função linear:
f\binom{x}{y}=\binom{x-4 y}{x-3 y}
Calcule a matriz representativa de f em relação à base \{(1,1),(-1,-2)\} de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\qquad f\binom{x}{y} = \binom{x-4y}{\,x-3y\,}
e pede a matriz de f na base
\mathcal{B} = \{\,\mathbf{v}_1=(1,1),\;\mathbf{v}_2=(-1,-2)\}.
Para isso, vamos calcular f(\mathbf{v}_1) e f(\mathbf{v}_2) e depois expressar cada imagem como combinação linear de \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2. Os coeficientes dessas combinações serão as colunas da matriz buscada.

Passo 2

Calculemos primeiro f(\mathbf{v}_1) com \mathbf{v}_1=(1,1):
f(1,1) = \binom{1 - 4\cdot1}{\,1 - 3\cdot1\,} = \binom{-3}{-2}.
Queremos achar escalares a,b tais que
\binom{-3}{-2} = a\binom{1}{1} + b\binom{-1}{-2}.
Isso gera o sistema
a - b = -3,\quad a - 2b = -2.
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos -b + 2b = -3 +2, isto é b = -1, e então a = -3 + b = -3 -1 = -4.
Logo, as coordenadas de f(\mathbf{v}_1) em \mathcal{B} são \bigl(a,b\bigr)=(-4,-1), e essa será a primeira coluna da matriz.

Passo 3

Agora f(\mathbf{v}_2) com \mathbf{v}_2=(-1,-2):
f(-1,-2) = \binom{-1 - 4(-2)}{\, -1 - 3(-2)\,} = \binom{-1 + 8}{-1 +6} = \binom{7}{5}.
Procuramos c,d tais que
\binom{7}{5} = c\binom{1}{1} + d\binom{-1}{-2},
o que dá
c - d = 7,\quad c - 2d = 5.
Da primeira equação c = 7 + d. Substituindo na segunda:
7 + d - 2d = 5 \implies -d = -2 \implies d = 2,\quad c = 7 + 2 = 9.
As coordenadas de f(\mathbf{v}_2) em \mathcal{B} são (9,2), que formam a segunda coluna da matriz.

Resposta

A matriz representativa de f na base \{(1,1),(-1,-2)\} é
\begin{pmatrix} -4 & 9 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

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