Exercício 1.2. Demonstre, usando a definição, que \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n-1}{n^{2}+1}=0.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado:
  • Pede-se demonstrar, usando a definição rigorosa de limite para sequências, que
\lim_{n\to+\infty}\frac{n-1}{n^{2}+1}=0.
  • A sequência dada é a_n=\dfrac{n-1}{n^{2}+1}. Não há outros dados numéricos além de que n tende a +\infty.

Passo 2

Recordando a definição (em linguagem direta): dizer que
\lim_{n\to+\infty} a_n = L
significa que para todo \varepsilon>0 existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale
|a_n-L|<\varepsilon.
Vou aplicar essa definição com L=0: preciso, dado um \varepsilon>0 qualquer, produzir um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{n-1}{n^{2}+1}-0\right|<\varepsilon.

Passo 3

Analisar a expressão absoluta e simplificar: para n\in\mathbb{N} temos n^2+1\ge n^2 e n-1\le n. Assim
\left|\frac{n-1}{n^{2}+1}\right|=\frac{n-1}{n^{2}+1}\le\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n},
porque o numerador e o denominador são positivos para n\ge1. Portanto, para todo n\ge1 vale
\left|\frac{n-1}{n^{2}+1}\right|\le\frac{1}{n}.

Passo 4

Escolha do N a partir de \varepsilon: seja \varepsilon>0 dado. Queremos garantir \left|\dfrac{n-1}{n^{2}+1}\right|<\varepsilon para todos n grandes o suficiente. Pela desigualdade do passo anterior, basta garantir \dfrac{1}{n}<\varepsilon.
Para isso, escolha um inteiro N tal que
N>\frac{1}{\varepsilon}.
Uma escolha explícita e simples é
N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro \ge x. Com essa escolha temos N\ge1 e, para todo n\ge N,
\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.

Passo 5

Conclusão por definição: combinando os passos anteriores, para o \varepsilon>0 dado escolhemos N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil. Então, para todo n\ge N,
\left|\frac{n-1}{n^{2}+1}-0\right|=\left|\frac{n-1}{n^{2}+1}\right|\le\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isto mostra exatamente que, segundo a definição \varepsilon- N, \dfrac{n-1}{n^{2}+1} tende a 0 quando n\to+\infty.

Passo 6

Um exemplo numérico curto (para intuição): se \varepsilon=0,01 então \dfrac{1}{\varepsilon}=100 e podemos escolher N=100. Para todo n\ge100 temos \dfrac{n-1}{n^{2}+1}\le\dfrac{1}{n}\le 0,01, como prometido.

Resposta

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