porque o numerador e o denominador são positivos para n\ge1. Portanto, para todo n\ge1 vale
\left|\frac{n-1}{n^{2}+1}\right|\le\frac{1}{n}.
Passo 4
Escolha do N a partir de \varepsilon: seja \varepsilon>0 dado. Queremos garantir \left|\dfrac{n-1}{n^{2}+1}\right|<\varepsilon para todos n grandes o suficiente. Pela desigualdade do passo anterior, basta garantir \dfrac{1}{n}<\varepsilon.
Para isso, escolha um inteiro N tal que
N>\frac{1}{\varepsilon}.
Uma escolha explícita e simples é
N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro \ge x. Com essa escolha temos N\ge1 e, para todo n\ge N,
\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Passo 5
Conclusão por definição: combinando os passos anteriores, para o \varepsilon>0 dado escolhemos N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil. Então, para todo n\ge N,
Isto mostra exatamente que, segundo a definição \varepsilon-N, \dfrac{n-1}{n^{2}+1} tende a 0 quando n\to+\infty.
Passo 6
Um exemplo numérico curto (para intuição): se \varepsilon=0,01 então \dfrac{1}{\varepsilon}=100 e podemos escolher N=100. Para todo n\ge100 temos \dfrac{n-1}{n^{2}+1}\le\dfrac{1}{n}\le 0,01, como prometido.