Exercício 1.1. Estude a convergência das sequências:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para estudar a convergência: isto é, determinar se
converge para algum número real finito, converge para
ou para
, ou não tem limite. As informações relevantes que temos são a forma explícita de
(uma exponencial no numerador e um polinômio no denominador) e que
é um inteiro que tende a
.
Passo 2
Uma técnica simples e eficaz aqui é comparar termos consecutivos da sequência (método da razão). Calculemos a razão
Expliquei: ao dividir
por
cancelam-se os fatores comuns
e sobra um
multiplicando a razão dos quadrados
.
Passo 3
Vamos ver o comportamento dessa razão quando
. Observe que
logo
Portanto
Note que
. Vou usar esse fato em seguida.
Passo 4
Expliquei agora por que o limite da razão maior que
implica crescimento sem limite: escolha um número
tal que
. Como
, existe
tal que para todo
vale
Isso significa
para
. Aplicando essa desigualdade repetidas vezes (indução), para todo
obtemos
Como
, a sequência geométrica
tende a
quando
. Portanto os termos
ficam arbitrariamente grandes à medida que
cresce, ou seja, a sequência não é limitada superiormente e cresce sem limite quando
.
Passo 5
(Dica alternativa — olhar os logaritmos) Outra forma rápida de ver o mesmo é tomar logaritmo dos termos:
Como
cresce muito mais rápido que
(ou, formalmente,
), tem-se
. Como a função exponencial é contínua, disso segue
. Isso reforça a conclusão do método anterior e dá a intuição padrão: exponencial domina polinomial.
Resposta
A sequência diverge para
.