Exercício 1.1. Estude a convergência das sequências:
(b) \frac{e^{n+4}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n=\frac{e^{n+4}}{n^{2}}
e pede para estudar a convergência: isto é, determinar se a_n converge para algum número real finito, converge para +\infty ou para -\infty, ou não tem limite. As informações relevantes que temos são a forma explícita de a_n (uma exponencial no numerador e um polinômio no denominador) e que n é um inteiro que tende a +\infty.

Passo 2

Uma técnica simples e eficaz aqui é comparar termos consecutivos da sequência (método da razão). Calculemos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{e^{(n+1)+4}}{(n+1)^2}}{\dfrac{e^{n+4}}{n^2}} =\;e\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
Expliquei: ao dividir a_{n+1} por a_n cancelam-se os fatores comuns e^{n+4} e sobra um e multiplicando a razão dos quadrados n^2/(n+1)^2.

Passo 3

Vamos ver o comportamento dessa razão quando n\to\infty. Observe que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1,
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\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^2=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e\cdot 1=e.
Note que e>1. Vou usar esse fato em seguida.

Passo 4

Expliquei agora por que o limite da razão maior que 1 implica crescimento sem limite: escolha um número r_0 tal que 1<r_0<e. Como \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to e, existe N tal que para todo n\ge N vale
\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge r_0.
Isso significa a_{n+1}\ge r_0 a_n para n\ge N. Aplicando essa desigualdade repetidas vezes (indução), para todo m\ge 0 obtemos
a_{N+m}\ge a_N\, r_0^{\,m}.
Como r_0>1, a sequência geométrica r_0^{m} tende a +\infty quando m\to\infty. Portanto os termos a_{N+m} ficam arbitrariamente grandes à medida que m cresce, ou seja, a sequência não é limitada superiormente e cresce sem limite quando n\to\infty.

Passo 5

(Dica alternativa — olhar os logaritmos) Outra forma rápida de ver o mesmo é tomar logaritmo dos termos:
\ln a_n = \ln\!\left(\frac{e^{n+4}}{n^{2}}\right)=n+4-2\ln n.
Como n cresce muito mais rápido que \ln n (ou, formalmente, \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0), tem-se \ln a_n\to+\infty. Como a função exponencial é contínua, disso segue a_n=\exp(\ln a_n)\to+\infty. Isso reforça a conclusão do método anterior e dá a intuição padrão: exponencial domina polinomial.

Resposta

A sequência diverge para +\infty.

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